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余弦定理

余弦定理の証明(導出)

余弦定理の証明(導出)です。

$\triangle ABC$ で、 $| \overrightarrow{AB} |$ ， $| \overrightarrow{BC} |$ ， $| \overrightarrow{CA} |$ と $\cos A$ の関係を考えます。

まず、便宜的に点 $A$ を原点 $O$ に取り、 $x$ 軸上正の値上に点 $B$ を取ります。それから点 $C$ から $AB$ に降ろした垂線と $AB$ との交点を $H$ とします。

f:id:windview_canada:20220119001206p:plain — 余弦定理の導出01

まず $\triangle AHC$ に注目。

$| \overrightarrow{AH} | = | \overrightarrow{CA} | \cos A \tag{1}$
$| \overrightarrow{CH} | = | \overrightarrow{CA} | \sin A \tag{2}$

f:id:windview_canada:20220119001402p:plain — 余弦定理の導出02

次に $\triangle HBC$ に注目。

$| \overrightarrow{HB} | = | \overrightarrow{AB} | - | \overrightarrow{AH} | = | \overrightarrow{AB} | - | \overrightarrow{CA} | \cos A \tag{3}$

f:id:windview_canada:20220119001601p:plain — 余弦定理の導出03

$\triangle HBC$ に関して三平方の定理より、
$| \overrightarrow{BC} |^2 = | \overrightarrow{HB} |^2 + | \overrightarrow{CH} |^2 = \left( | \overrightarrow{AB} | - | \overrightarrow{CA} | \cos A \right)^2 + \left( | \overrightarrow{CA} | \sin A \right)^2 \\ = | \overrightarrow{AB} |^2 - 2 | \overrightarrow{AB} | | \overrightarrow{CA} | \cos A + | \overrightarrow{CA} |^2 \cos ^{2} A + | \overrightarrow{CA} |^2 \sin ^{2} A \\ = | \overrightarrow{AB} |^2 + | \overrightarrow{CA} |^2 \left( \sin ^{2} A + \cos ^{2} A \right) - 2 | \overrightarrow{AB} | | \overrightarrow{CA} | \cos A \\ = | \overrightarrow{AB} |^2 + | \overrightarrow{CA} |^2 - 2 | \overrightarrow{AB} | | \overrightarrow{CA} | \cos A$
$\therefore | \overrightarrow{BC} |^2 = | \overrightarrow{AB} |^2 + | \overrightarrow{CA} |^2 - 2 | \overrightarrow{AB} | | \overrightarrow{CA} | \cos A \tag{4}$

これがいわゆる余弦定理となります。

$\angle{A}$ は鈍角の場合でも結果的に同じ式になります。

また、特に $\displaystyle \angle{A} = \frac{\pi}{2}$ の時(即ち直角三角形の場合)、 $\cos A = 0$ となり、三平方の定理と同じ式となります。

また、 $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ であり、ベクトルの内積の定義より $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = | \overrightarrow{AB} | | \overrightarrow{AC} | \cos A$ なので、

(4)式は次のように表せます。

$| \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} |^2 = | \overrightarrow{AB} |^2 + | \overrightarrow{CA} |^2 - 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} \tag{5}$

これと $\overrightarrow{CA} = - \overrightarrow{AC}$ ， $| \overrightarrow{CA} | = | \overrightarrow{AC} |$ ， $\cos ( \pi - \theta ) = - \cos \theta$ を考え合わせると、

$| \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} |^2 = | \overrightarrow{AB} |^2 + | \overrightarrow{AC} |^2 - 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \tag{6}$
となり、余弦定理は、ベクトル表現した(5)式の左辺を単にベクトルの演算規則に則って展開しただけとも言えます。