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累乗の和 - 五乗和の公式(2)

五乗和の公式の導出です。

数列 $\{ a_n \}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、
$\displaystyle S_n = \left\{ { \frac{1}{6} } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \right\}^2$
で表される時の $\{ a_n \}$ を考えます。

まず $n = 1$ の時、

$\displaystyle a_1 = S_1 = \left\{ \frac{ 1 }{ 6 } \cdot 1 \cdot ( 1 + 1 ) ( 2 \cdot 1 + 1 ) \right\}^2 = 1 \tag{1}$

次に $n \geqq 2$ の時、

$\displaystyle \{ a_n \} = S_n - S_{ n - 1 } = \left\{ \frac{1}{6} n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \right\}^2 - \left[ \frac{1}{6} ( n - 1 ) \left\{ ( n - 1 ) + 1 \right\} \left\{ 2 ( n - 1 ) + 1 \right\} \right]^2 \\ \displaystyle = \left\{ \frac{1}{6} n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \right\}^2 - \left\{ \frac{1}{6} ( n - 1 ) n ( 2 n - 1 ) \right\}^2 \\ \displaystyle = \frac{1}{36} n^2 \left\{ ( n + 1 )^2 ( 2 n + 1 )^2 - ( n - 1 )^2 ( 2 n - 1 )^2 \right\} \\ \displaystyle = \frac{1}{36} n^2 \left[ \left\{ ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \right\}^2 - \left\{ ( n - 1 ) ( 2 n - 1 ) \right\}^2 \right] \\ \displaystyle = \frac{1}{36} n^2 \left\{ ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) + ( n - 1 ) ( 2 n - 1 ) \right\} \left\{ ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) - ( n - 1 ) ( 2 n - 1 ) \right\} \\ \displaystyle = \frac{1}{36} n^2 \left( 2 n^2 + 3 n + 1 + 2 n^2 - 3 n + 1 \right) \left\{ 2 n^2 + 3 n + 1 - \left( 2 n^2 - 3 n + 1 \right) \right\} \\ \displaystyle = \frac{1}{36} n^2 \left( 4 n^2 + 2 \right) \cdot 6 n$
$\displaystyle = \frac{1}{3} n^3 \left( 2 n^2 + 1 \right) \tag{2}$

これに $n = 1$ を代入すると、

$\displaystyle \{ a_1 \} = \frac{ 1 }{ 3 } \cdot 1^3 \cdot \left( 2 \cdot 1^2 + 1 \right) = 1$

となり、(1)を満たす。よって、(2)の $\{ a_n \}$ は、 $n \geqq 1$ で成立する。

ここで、

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { a_k } = S_n$

より、

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { \frac{1}{3} k^3 \left( 2 k^2 + 1 \right) } = \left\{ \frac{1}{6} n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \right\}^2 \\ \displaystyle \Leftrightarrow \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} { \left( 2 k^5 + k^3 \right) } = \frac{1}{36} n^2 ( n + 1 )^2 ( 2 n + 1 )^2 \\ \displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} { \left( 2 k^5 + k^3 \right) } = \frac{1}{12} n^2 ( n + 1 )^2 ( 2 n + 1 )^2 \\ \displaystyle \Leftrightarrow 2 \sum_{k=1}^{n} { k^5 } + \sum_{k=1}^{n} { k^3 } = \frac{1}{12} n^2 ( n + 1 )^2 ( 2 n + 1 )^2$
$\displaystyle \Leftrightarrow 2 \sum_{k=1}^{n} { k^5 } = \frac{1}{12} n^2 ( n + 1 )^2 ( 2 n + 1 )^2 - \sum_{k=1}^{n} { k^3 } \tag{3}$

(3)と三乗和の公式から

$\displaystyle 2 \sum_{k=1}^{n} { k^5 } = \frac{1}{12} n^2 ( n + 1 )^2 ( 2 n + 1 )^2 - \sum_{k=1}^{n} { k^3 } = \frac{1}{12} n^2 ( n + 1 )^2 ( 2 n + 1 )^2 - \frac{1}{4} n^2 ( n + 1 )^2 \\ \displaystyle = \frac{1}{12} n^2 ( n + 1 )^2 \left\{ ( 2 n + 1 )^2 - 3 \right\} = \frac{1}{12} n^2 ( n + 1 )^2 \left( 4 n^2 + 4 n + 1 - 3 \right) \\ \displaystyle = \frac{1}{12} n^2 ( n + 1 )^2 \left( 4 n^2 + 4 n - 2 \right) = \frac{2}{12} n^2 ( n + 1 )^2 \left( 2 n^2 + 2 n - 1 \right)$
$\displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} { k^5 } = \frac{1}{12} n^2 ( n + 1 )^2 \left( 2 n^2 + 2 n - 1 \right) \tag{4}$

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累乗の和 - 五乗和の公式(2)

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