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累乗の和 - 五乗和の公式(3)

五乗和の公式の導出です。

$k^3 ( k + 1 )^3 - ( k - 1 )^3 k^3 \tag{1}$

を考えます。

(1)をそのまま展開すると、

$k^3 ( k + 1 )^3 - ( k - 1 )^3 k^3 = k^3 \left\{ ( k + 1 )^3 - ( k - 1 )^3 \right\} \\ \displaystyle = k^3 \left\{ k^3 + 3 k^2 + 3 k + 1 - ( k^3 - 3 k^2 + 3 k - 1 ) \right\} = k^3 \left( 6 k^2 + 2 \right)$

$= 2 k^3 \left( 3 k^2 + 1 \right) \tag{2}$

(1)の和を考えると、

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { \left\{ k^3 ( k + 1 )^3 - ( k - 1 )^3 k^3 \right\}} = \sum_{k=1}^{n} { k^3 ( k + 1 )^3 } - \sum_{k=1}^{n} { ( k - 1 )^3 k^3 } \\ \displaystyle = 1^3 \cdot 2^3 + 2^3 \cdot 3^3 + \cdots + ( n - 1 )^3 n^3 + n^3 ( n + 1 )^3 - \left\{ 0^3 \cdot 1^3 + 1^3 \cdot 2^3 + \cdots + ( n - 2 )^3 ( n - 1 )^3 + ( n - 1 )^3 n^3 \right\}$
$= n^3 ( n + 1 )^3 \tag{3}$

これと、(2)の和が等しいので、

$\displaystyle n^3 ( n + 1 )^3 = \sum_{k=1}^{n} { \left\{ 2 k^3 \left( 3 k^2 + 1 \right) \right\} } = \sum_{k=1}^{n} { \left( 6 k^5 + 2 k^3 \right) } = 6 \sum_{k=1}^{n} { k^5 } + 2 \sum_{k=1}^{n} { k^3 }$
$\displaystyle \Leftrightarrow 6 \sum_{k=1}^{n} { k^5 } = n^3 ( n + 1 )^3 - 2 \sum_{k=1}^{n} { k^3 } \tag{4}$

これと三乗和の公式より、

$\displaystyle 6 \sum_{k=1}^{n} { k^5 } = n^3 ( n + 1 )^3 - 2 \sum_{k=1}^{n} { k^3 } = n^3 ( n + 1 )^3 - 2 \left\{ \frac{ 1 }{ 4 } n^2 ( n + 1 )^2 \right\} = n^3 ( n + 1 )^3 - \frac{ 1 }{ 2 } n^2 ( n + 1 )^2 \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 2 } n^2 ( n + 1 )^2 \left\{ 2 n ( n + 1 ) - 1 \right\} = \frac{ 1 }{ 2 } n^2 ( n + 1 )^2 \left( 2 n^2 + 2 n - 1 \right)$
$\displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} { k^5 } = \frac{ 1 }{ 12 } n^2 ( n + 1 )^2 \left( 2 n^2 + 2 n - 1 \right) \tag{5}$