CANADA'S WINDVIEW

趣味の写真を投稿していきます。昆虫好きな長男と一緒に昆虫を追いかけています。最初の年はセミやカマキリ、次の年はカブトムシ、トンボ、そして今年は…

累乗の和 - 七乗和の公式

カテゴリー[ 昆虫| 田園| | | 数学・幾何学| 寺院| | 祭り| 鉄道| | 風力発電]

累乗の和 - 七乗和の公式

七乗和の公式の導出です。

 

数列 \{ a_n \} の初項から第 n項までの和 S_n が、

 \displaystyle S_n = \left\{ \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \right\}^4

で表される時の \{ a_n \} を考えます。

 

まず  n = 1 の時、

 \displaystyle a_1 = S_1 = \left\{ \frac{ 1 }{ 2 } \cdot 1 \cdot ( 1 + 1 ) \right\}^4 = 1 \tag{1}

次に  n \geqq 2 の時、

 \displaystyle \{ a_n \} = S_n - S_{ n - 1 } = \left\{ \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \right\}^4 - \left\{ \frac{ 1 }{ 2 } ( n - 1 ) n \right\}^4 = \frac{ 1 }{ 16 } n^4 \left\{ ( n + 1 )^4 - ( n + 1 )^4  \right\} \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 16 } n^4 \left\{ n^4 + 4 n^3 + 6 n^2 + 4 n + 1 - \left( n^4 - 4 n^3 + 6 n^2 - 4 n + 1 \right) \right\} = \frac{ 1 }{ 16 } n^4 \left( 8 n^3 + 8 n \right)

 \displaystyle = \frac{ 1 }{ 2 } n^5 \left( n^2 + 1 \right)  \tag{2}

これに  n = 1 を代入すると、

 \displaystyle \{ a_1 \} = \frac{ 1 }{ 2 } \cdot 1^5 \cdot \left(  1^2 + 1 \right) = 1

となり、(1)を満たす。よって、(2)の \{ a_n \} は、 n \geqq 1 で成立する。 

 

ここで、

 \displaystyle \sum_{k=1}^{n} { a_k } = S_n

より、

 \displaystyle \sum_{k=1}^{n} { \frac{ 1 }{ 2 } k^5 \left( k^2 + 1 \right) } = \left\{ \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \right\}^4 \\ \displaystyle \Leftrightarrow \frac{ 1 }{ 2 } \left( \sum_{k=1}^{n} {k^7} + \sum_{k=1}^{n} {k^5} \right) =  \frac{ 1 }{ 16 } n^4 ( n + 1 )^4 \\ \displaystyle \Leftrightarrow  \sum_{k=1}^{n} {k^7} + \sum_{k=1}^{n} {k^5} = \frac{ 1 }{ 8 } n^4 ( n + 1 )^4
 \displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} {k^7} = \frac{ 1 }{ 8 } n^4 ( n + 1 )^4 - \sum_{k=1}^{n} {k^5} \tag{3}

 

(3)と五乗和の公式から
 \displaystyle \sum_{k=1}^{n} {k^7} = \frac{ 1 }{ 8 } n^4 ( n + 1 )^4 - \sum_{k=1}^{n} {k^5} = \frac{ 1 }{ 8 } n^4 ( n + 1 )^4 - \frac{1}{12} { n ^ 2 } { ( n + 1 ) ^ 2 } \left( 2 n ^ 2 + 2 n - 1 \right) \\ \displaystyle = \frac{1}{24} n^2 ( n + 1 )^2 \left\{ 3 n^2 ( n + 1 )^2 - 2 \left( 2 n ^ 2 + 2 n - 1 \right) \right\} \\ \displaystyle = \frac{1}{24} n^2 ( n + 1 )^2 \left\{ 3 n^2 \left( n^2 + 2 n + 1 \right) - 4 n ^ 2 - 4 n + 2 \right\} \\ \displaystyle = \frac{1}{24} n^2 ( n + 1 )^2 \left( 3 n^4 + 6 n^3 + 3 n^2 - 4 n ^ 2 - 4 n + 2 \right) \\ \displaystyle = \frac{1}{24} n^2 ( n + 1 )^2 \left( 3 n^4 + 6 n^3 - n ^ 2 - 4 n + 2 \right)
 \displaystyle \therefore \sum_{k=1}^{n} {k^7} = \frac{1}{24} n^2 ( n + 1 )^2 \left( 3 n^4 + 6 n^3 - n ^ 2 - 4 n + 2 \right) \tag{4}