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累乗の和 - 七乗和の公式

七乗和の公式の導出です。

数列 $\{ a_n \}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、

$\displaystyle S_n = \left\{ \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \right\}^4$

で表される時の $\{ a_n \}$ を考えます。

まず $n = 1$ の時、

$\displaystyle a_1 = S_1 = \left\{ \frac{ 1 }{ 2 } \cdot 1 \cdot ( 1 + 1 ) \right\}^4 = 1 \tag{1}$

次に $n \geqq 2$ の時、

$\displaystyle \{ a_n \} = S_n - S_{ n - 1 } = \left\{ \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \right\}^4 - \left\{ \frac{ 1 }{ 2 } ( n - 1 ) n \right\}^4 = \frac{ 1 }{ 16 } n^4 \left\{ ( n + 1 )^4 - ( n + 1 )^4 \right\} \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 16 } n^4 \left\{ n^4 + 4 n^3 + 6 n^2 + 4 n + 1 - \left( n^4 - 4 n^3 + 6 n^2 - 4 n + 1 \right) \right\} = \frac{ 1 }{ 16 } n^4 \left( 8 n^3 + 8 n \right)$

$\displaystyle = \frac{ 1 }{ 2 } n^5 \left( n^2 + 1 \right) \tag{2}$

これに $n = 1$ を代入すると、

$\displaystyle \{ a_1 \} = \frac{ 1 }{ 2 } \cdot 1^5 \cdot \left( 1^2 + 1 \right) = 1$

となり、(1)を満たす。よって、(2)の $\{ a_n \}$ は、 $n \geqq 1$ で成立する。

ここで、

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { a_k } = S_n$

より、

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { \frac{ 1 }{ 2 } k^5 \left( k^2 + 1 \right) } = \left\{ \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \right\}^4 \\ \displaystyle \Leftrightarrow \frac{ 1 }{ 2 } \left( \sum_{k=1}^{n} {k^7} + \sum_{k=1}^{n} {k^5} \right) = \frac{ 1 }{ 16 } n^4 ( n + 1 )^4 \\ \displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} {k^7} + \sum_{k=1}^{n} {k^5} = \frac{ 1 }{ 8 } n^4 ( n + 1 )^4$
$\displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} {k^7} = \frac{ 1 }{ 8 } n^4 ( n + 1 )^4 - \sum_{k=1}^{n} {k^5} \tag{3}$

(3)と五乗和の公式から
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} {k^7} = \frac{ 1 }{ 8 } n^4 ( n + 1 )^4 - \sum_{k=1}^{n} {k^5} = \frac{ 1 }{ 8 } n^4 ( n + 1 )^4 - \frac{1}{12} { n ^ 2 } { ( n + 1 ) ^ 2 } \left( 2 n ^ 2 + 2 n - 1 \right) \\ \displaystyle = \frac{1}{24} n^2 ( n + 1 )^2 \left\{ 3 n^2 ( n + 1 )^2 - 2 \left( 2 n ^ 2 + 2 n - 1 \right) \right\} \\ \displaystyle = \frac{1}{24} n^2 ( n + 1 )^2 \left\{ 3 n^2 \left( n^2 + 2 n + 1 \right) - 4 n ^ 2 - 4 n + 2 \right\} \\ \displaystyle = \frac{1}{24} n^2 ( n + 1 )^2 \left( 3 n^4 + 6 n^3 + 3 n^2 - 4 n ^ 2 - 4 n + 2 \right) \\ \displaystyle = \frac{1}{24} n^2 ( n + 1 )^2 \left( 3 n^4 + 6 n^3 - n ^ 2 - 4 n + 2 \right)$
$\displaystyle \therefore \sum_{k=1}^{n} {k^7} = \frac{1}{24} n^2 ( n + 1 )^2 \left( 3 n^4 + 6 n^3 - n ^ 2 - 4 n + 2 \right) \tag{4}$