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累乗の和 - 三乗和の公式

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三乗和の公式の導出です。

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k ^ 4 } - \sum_{k=1}^{n} { ( k - 1 )^4 } = 1^4 + 2^4 + \cdots + ( n - 1 )^4 + n^4 - \left\{ 0^4 + 1^4 + \cdots + ( n - 2 )^4 + ( n - 1 )^4 \right\} = n^4 \\ \displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} { k ^ 4 } = n^4 + \sum_{k=1}^{n} { ( k - 1 )^4 } = n^4 + \sum_{k=1}^{n} { \left( k^4 - 4 k^3 + 6 k^2 - 4 k + 1 \right) } \\ \displaystyle = n^4 + \sum_{k=1}^{n} { k ^ 4 } - 4 \sum_{k=1}^{n} { k ^ 3 } + 6 \sum_{k=1}^{n} { k ^ 2 } - 4 \sum_{k=1}^{n} { k } + n$
$\displaystyle \Leftrightarrow 4 \sum_{k=1}^{n} { k ^ 3 } = n^4 + n + 6 \sum_{k=1}^{n} { k ^ 2 } - 4 \sum_{k=1}^{n} { k } = n ( n + 1 ) \left( n^2 - n + 1 \right) + 6 \sum_{k=1}^{n} { k ^ 2 } - 4 \sum_{k=1}^{n} { k } \tag{4}$

更に(4)と二乗和の(3)から、

$\displaystyle 4 \sum_{k=1}^{n} { k ^ 3 } = n ( n + 1 ) \left( n^2 - n + 1 \right) + 6 \left\{ \frac{ 1 }{ 3 } n ( n + 1 ) ( n - 1 ) + \sum_{k=1}^{n} { k } \right\} - 4 \sum_{k=1}^{n} { k } \\ \displaystyle = n ( n + 1 ) \left( n^2 - n + 1 \right) + 2 n ( n + 1 ) ( n - 1 ) + 6 \sum_{k=1}^{n} { k } - 4 \sum_{k=1}^{n} { k } \\ \displaystyle = n ( n + 1 ) \left( n^2 - n + 1 \right) + 2 n ( n + 1 ) ( n - 1 ) + 2 \sum_{k=1}^{n} { k } \\ \displaystyle = n ( n + 1 ) \left( n^2 - n + 1 \right) + 2 n ( n + 1 ) ( n - 1 ) + 2 \cdot \frac{ n ( n + 1 ) }{ 2 } \\ \displaystyle = n ( n + 1 ) \left( n^2 - n + 1 \right) + 2 n ( n + 1 ) ( n - 1 ) + n ( n + 1 ) \\ \displaystyle = n ( n + 1 ) \left\{ \left( n^2 - n + 1 \right) + 2 ( n - 1 ) + 1 \right\} = n ( n + 1 ) \left( n^2 - n + 1 + 2 n - 2 + 1 \right) \\ \displaystyle = n ( n + 1 ) \left( n^2 + n \right) = n^2 ( n + 1 )^2$
$\displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} { k ^ 3 } = \frac{ 1 }{ 4 } n^2 ( n + 1 )^2 = \left\{ \frac{ 1 }{ 2 } n ( n+ 1 ) \right\}^2 \tag{5}$

これが三乗和の公式となります。

また(4)より、

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k ^ 3 } = \frac{ 1 }{ 4 } n ( n + 1 ) \left( n^2 - n + 1 \right) + \frac{ 3 }{ 2 } \sum_{k=1}^{n} { k ^ 2 } - \sum_{k=1}^{n} { k } \tag{6}$

の関係式も成り立ちます。

LibreOffice 数式(Math)のソース：

k ^4 - ( k - 1 ) ^4 = 4 k ^3 - 6 k ^2 + 4 k - 1

n ^4 - ( n - 1 ) ^4 = 4 n ^3 - 6 n ^2 + 4 n - 1
newline
dotsvert
newline
3 ^4 - 2 ^4 = 4 cdot 3 ^3 - 6 cdot 3 ^2 + 4 cdot 3 - 1
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2 ^4 - 1 ^4 = 4 cdot 2 ^3 - 6 cdot 2 ^2 + 4 cdot 2 - 1
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1 ^4 - 0 ^4 = 4 cdot 1 ^3 - 6 cdot 1 ^2 + 4 cdot 1 - 1

alignl n ^4 = 4 sum from { k = 1 } to { n } { k ^3 } - 6 sum from { k = 1 } to { n } { k ^2 } + 4 sum from { k = 1 } to { n } { k } - n
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alignl phantom { y } dlrarrow 4 sum from { k = 1 } to { n } { k ^3 } = n ^4 + 6 sum from { k = 1 } to { n } { k ^2 } + 4 sum from { k = 1 } to { n } { k } + n = n ^4 + n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) - 2 n ( n + 1 ) + n
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alignl phantom { yyyyy } = n ^4 + 2 n ^3 + n ^2 = n ^2 ( n + 1 ) ^2
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alignl phantom { y } dlrarrow sum from { k = 1 } to { n } { k ^3 } = { { 1 } over { 4 } } n ^2 ( n + 1 ) ^2

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累乗の和 - 三乗和の公式

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