等比数列の和の公式

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等比数列の和の公式の導出です。

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LibreOffice 数式(Math) のソース：

sum from { k = 1 } to { n } { a cdot r ^ { k - 1 } } = a + a cdot r + a cdot r ^2 + a cdot r ^3 + dotsaxis + a cdot r ^ { n - 1 }

r cdot sum from { k = 1 } to { n } { a cdot r ^ { k - 1 } } = a cdot r + a cdot r ^2 + a cdot r ^3 + dotsaxis + a cdot r ^ { n - 1 } + a cdot r ^ { n }

alignl sum from { k = 1 } to { n } { a cdot r ^ { k - 1 } } - r cdot sum from { k = 1 } to { n } { a cdot r ^ { k - 1 } } = left ( a + a cdot r + a cdot r ^2 + a cdot r ^3 + dotsaxis + a cdot r ^ { n - 1 } right ) -
left ( a cdot r + a cdot r ^2 + a cdot r ^3 + dotsaxis + a cdot r ^ { n - 1 } + a cdot r ^ { n } right )
newline
alignl phantom { y } = a - a cdot r ^ { n }
newline
alignl dlrarrow ( 1 - r ) cdot sum from { k = 1 } to { n } { a cdot r ^ { k - 1 } } = a left ( 1 - r ^ { n } right )
newline
alignl dlrarrow sum from { k = 1 } to { n } { a cdot r ^ { k - 1 } } = { alignc { a left ( 1 - r ^ n right ) } over { 1 - r } }

alignl sum from { k = 1 } to { n } { a cdot r ^ { k - 1 } } = a + a cdot r + a cdot r ^2 + a cdot r ^3 + dotsaxis + a cdot r ^ { n - 1 } = { alignc { a left ( 1 - r ^ n right ) } over { 1 - r } }