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累乗の和 - 四乗和の公式

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累乗の和 - 四乗和の公式

四乗和の公式

イメージ 1

四乗和の公式の導出です。

 \displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k ^ 5 } - \sum_{k=1}^{n} { ( k - 1 )^5 } = 1^5 + 2^5 + \cdots + ( n - 1 )^5 + n^5 - \left\{ 0^5 + 1^5 + \cdots + ( n - 2 )^5 + ( n - 1 )^5 \right\} = n^5 \\ \displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} { k ^ 5 } = n^5 + \sum_{k=1}^{n} { ( k - 1 )^5 } = n^5 + \sum_{k=1}^{n} { \left( k^5 - 5 k^4 + 10 k^3 - 10 k^2 + 5 k - 1 \right) } \\ \displaystyle = n^5 + \sum_{k=1}^{n} { k ^ 5 } - 5 \sum_{k=1}^{n} { k ^ 4 } + 10 \sum_{k=1}^{n} { k ^ 3 } - 10 \sum_{k=1}^{n} { k ^ 2 } + 5 \sum_{k=1}^{n} { k } - n \\ \displaystyle \Leftrightarrow 5 \sum_{k=1}^{n} { k ^ 4 } = n^5 - n + 10 \sum_{k=1}^{n} { k ^ 3 } - 10 \sum_{k=1}^{n} { k ^ 2 } + 5 \sum_{k=1}^{n} { k }
 \displaystyle = n ( n + 1 ) ( n - 1 ) \left( n^2 + 1 \right) + 5 \left( 2 \sum_{k=1}^{n} { k ^ 3 } - 2 \sum_{k=1}^{n} { k ^ 2 } + \sum_{k=1}^{n} { k } \right) \tag{7}

 

更に(7)、三乗和の(6)、二乗和の(3)から、
 \displaystyle 5 \sum_{k=1}^{n} { k ^ 4 } - n ( n + 1 ) ( n - 1 ) \left( n^2 + 1 \right) = 5 \left( 2 \sum_{k=1}^{n} { k ^ 3 } - 2 \sum_{k=1}^{n} { k ^ 2 } + \sum_{k=1}^{n} { k } \right) \\ \displaystyle = 5 \left[ 2 \left\{ \frac{ 1 }{ 4 } n ( n + 1 ) \left( n^2 - n + 1 \right) + \frac{ 3 }{ 2 } \sum_{k=1}^{n} { k ^ 2 } - \sum_{k=1}^{n} { k } \right\} - 2 \left\{ \frac{ 1 }{ 3 } n ( n + 1 ) ( n - 1 ) + \sum_{k=1}^{n} { k } \right\} + \sum_{k=1}^{n} { k } \right] \\ \displaystyle = 5 \left\{ \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \left( n^2 - n + 1 \right) + 3 \sum_{k=1}^{n} { k ^ 2 } - 2 \sum_{k=1}^{n} { k } - \frac{ 2 }{ 3 } n ( n + 1 ) ( n - 1 ) - 2 \sum_{k=1}^{n} { k } + \sum_{k=1}^{n} { k }    \right\} \\ \displaystyle = 5 \left[ \frac{ 1 }{ 6 } \left\{ 3 n ( n + 1 ) \left( n^2 - n + 1 \right) -4 n ( n + 1 ) ( n - 1 )  \right\} + 3 \sum_{k=1}^{n} { k ^ 2 } - 3 \sum_{k=1}^{n} { k } \right] \\ \displaystyle = 5 \left[ \frac{ 1 }{ 6 } n ( n + 1 ) \left\{ 3 \left( n^2 - n + 1 \right) - 4 ( n - 1 ) \right\} + 3 \left\{ \frac{ 1 }{ 3 } n ( n + 1 ) ( n - 1 ) + \sum_{k=1}^{n} { k } \right\} - 3 \sum_{k=1}^{n} { k } \right] \\ \displaystyle = 5 \left[ \frac{ 1 }{ 6 } n ( n + 1 ) \left\{ 3 \left( n^2 - n + 1 \right) - 4 ( n - 1 ) \right\} + n ( n + 1 ) ( n - 1 ) + 3 \sum_{k=1}^{n} { k } - 3 \sum_{k=1}^{n} { k } \right] \\ \displaystyle = 5 \left[ \frac{ 1 }{ 6 } n ( n + 1 ) \left\{ 3 \left( n^2 - n + 1 \right) - 4 ( n - 1 ) + 6 ( n - 1 ) \right\}  \right] \\ \displaystyle = \frac{ 5 }{ 6 } n ( n + 1 ) \left\{ 3 \left( n^2 - n + 1 \right) + 2 ( n - 1 ) \right\} = \frac{ 5 }{ 6 } n ( n + 1 ) \left( 3 n^2 - n + 1 \right) \\ \displaystyle \Leftrightarrow 5 \sum_{k=1}^{n} { k ^ 4 } = \frac{ 5 }{ 6 } n ( n + 1 ) \left( 3 n^2 - n + 1 \right) + n ( n + 1 ) ( n - 1 ) \left( n^2 + 1 \right) \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 6 } n ( n + 1 ) \left\{ 5 \left( 3 n^2 - n + 1 \right) + 6 ( n - 1 ) \left( n^2 + 1 \right) \right\} \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 6 } n ( n + 1 ) \left( 15 n^2 - 5 n + 5 + 6 n^3 - 6 n^2 + 6 n - 6 \right) = \frac{ 1 }{ 6 } n ( n + 1 ) \left( 6 n^3 + 9 n^2 + n - 1 \right) \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 6 } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \left( 3 n^2 + 3 n - 1 \right)

 \displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} { k ^ 4 } = { \frac{1}{30} } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \left( 3 n ^ 2 + 3 n - 1 \right) \tag{8}

これが四乗和の公式となります。

 

また(7)より、

 \displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k ^ 4 } = \frac{ 1 }{ 5 } n ( n + 1 ) ( n - 1 ) \left( n^2 + 1 \right) + 2 \sum_{k=1}^{n} { k ^ 3 } - 2 \sum_{k=1}^{n} { k ^ 2 } + \sum_{k=1}^{n} { k }  \tag{9}

の関係式も成り立ちます。

 



LibreOffice 数式(Math)のソース:

 

k ^5 - ( k - 1 ) ^5 = 5 k ^4 - 10 k ^3 + 10 k ^2 - 5 k + 1

 

n ^5 - ( n - 1 ) ^5 = 5 n ^4 - 10 n ^3 + 10 n ^2 - 5 n + 1
newline
dotsvert
newline
3 ^5 - 2 ^5 = 5 cdot 3 ^4 - 10 cdot 3 ^3 + 10 cdot 3 ^2 - 5 cdot 3 + 1
newline
2 ^5 - 1 ^5 = 5 cdot 2 ^4 - 10 cdot 2 ^3 + 10 cdot 2 ^2 - 5 cdot 2 + 1
newline
1 ^5 - 0 ^5 = 5 cdot 1 ^4 - 10 cdot 1 ^3 + 10 cdot 1 ^2 - 5 cdot 1 + 1

 

alignl n ^5 = 5 sum from { k = 1 } to { n } { k ^4 } - 10 sum from { k = 1 } to { n } { k ^3 } + 10 sum from { k = 1 } to { n } { k ^2 } - 5 sum from { k = 1 } to { n } { k } + n
newline
alignl phantom { y } dlrarrow 5 sum from { k = 1 } to { n } { k ^4 } = n ^5 + 10 sum from { k = 1 } to { n } { k ^3 } - 10 sum from { k = 1 } to { n } { k ^2 } + 5 sum from { k = 1 } to { n } { k } - n
newline
alignl phantom { yyyyy } = { alignc n ^5 + { { 10 } over { 4 } } ( n ^4 + 2 n ^3 + n ^2 ) - { { 10 } over { 6 } } ( 2 n ^3 + 3 n ^2 + n ) + { { 5 } over { 2 } } ( n ^2 + n ) - 6 n }
newline
alignl phantom { yyyyy } = { alignc { { 1 } over { 6 } } ( 6 n ^5 + 15 n ^4 + 10 n ^3 - n ) } = { alignc { { 1 } over { 6 } } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ( 3 n ^2 + 3 n - 1 ) }
newline
alignl phantom { y } dlrarrow sum from { k = 1 } to { n } { k ^4 } = { alignc { { 1 } over { 30 } } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ( 3 n ^2 + 3 n - 1 ) }