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累乗の和 - 五乗和の公式
五乗和の公式の導出です。
更に(10)と、四乗和、三乗和、二乗和の公式から、
これが五乗和の公式となります。
また(10)より、
の関係式も成り立ちます。
<関連>
九乗和の公式
八乗和の公式
七乗和の公式
六乗和の公式
五乗和の公式(3)
五乗和の公式(2)
四乗和の公式(2)
四乗和の公式
三乗和の公式(3)
三乗和の公式(2)
三乗和の公式
二乗和の公式(2)
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等比数列の和の公式
パスカルの三角形
式の展開、因数分解
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LibreOffice 数式(Math)のソース:
k ^6 - ( k - 1 ) ^6 = 6 k ^5 - 15 k ^4 + 20 k ^3 - 15 k ^2 + 6 k - 1
n ^6 - ( n - 1 ) ^6 = 6 n ^5 - 15 n ^4 + 20 n ^3 - 15 n ^2 + 6 n - 1
newline
dotsvert
newline
3 ^6 - 2 ^6 = 6 cdot 3 ^5 - 15 cdot 3 ^4 + 20 cdot 3 ^3 - 15 cdot 3 ^2 + 6 cdot 3 - 1
newline
2 ^6 - 1 ^6 = 6 cdot 2 ^5 - 15 cdot 2 ^4 + 20 cdot 2 ^3 - 15 cdot 2 ^2 + 6 cdot 2 - 1
newline
1 ^6 - 0 ^6 = 6 cdot 1 ^5 - 15 cdot 1 ^4 + 20 cdot 1 ^3 - 15 cdot 1 ^2 + 6 cdot 1 - 1
newline
dotsvert
newline
3 ^6 - 2 ^6 = 6 cdot 3 ^5 - 15 cdot 3 ^4 + 20 cdot 3 ^3 - 15 cdot 3 ^2 + 6 cdot 3 - 1
newline
2 ^6 - 1 ^6 = 6 cdot 2 ^5 - 15 cdot 2 ^4 + 20 cdot 2 ^3 - 15 cdot 2 ^2 + 6 cdot 2 - 1
newline
1 ^6 - 0 ^6 = 6 cdot 1 ^5 - 15 cdot 1 ^4 + 20 cdot 1 ^3 - 15 cdot 1 ^2 + 6 cdot 1 - 1
alignl n ^6 = 6 sum from { k = 1 } to { n } { k ^5 } - 15 sum from { k = 1 } to { n } { k ^4 } + 20 sum from { k = 1 } to { n } { k ^3 } - 15 sum from { k = 1 } to { n } { k ^2 } + 6 sum from { k = 1 } to { n } { k } - n
newline
alignl phantom { y } dlrarrow 6 sum from { k = 1 } to { n } { k ^5 } = n ^6 + 15 sum from { k = 1 } to { n } { k ^4 } - 20 sum from { k = 1 } to { n } { k ^3 } + 15 sum from { k = 1 } to { n } { k ^2 } - 6 sum from { k = 1 } to { n } { k } + n
newline
alignl phantom { yyyyy } = { alignc n ^6 + { { 15 } over { 30 } } ( 6 n ^5 + 15 n ^4 + 10 n ^3 - n ) - { { 20 } over { 4 } } ( n ^4 + 2 n ^3 + n ^2 ) + { { 15 } over { 6 } } ( 2 n ^3 + 3 n ^2 + n ) - { { 6 } over { 2 } } ( n ^2 + n ) + 2 n }
newline
alignl phantom { yyyyy } = { alignc { { 1 } over { 2 } } left lbrace 2 n ^6 + ( 6 n ^5 + 15 n ^4 + 10 n ^3 - n ) -10 ( n ^4 + 2 n ^3 + n ^2 ) + 5 ( 2 n ^3 + 3 n ^2 + n ) - 6 ( n ^2 + n ) + 2 n right rbrace }
newline
alignl phantom { yyyyy } = { alignc { { 1 } over { 2 } } ( 2 n ^6 + 6 n ^5 + 5 n ^4 - n ^2 ) } = { alignc { { 1 } over { 2 } } n ^2 ( n + 1 ) ^2 ( 2 n ^2 + 2 n - 1 ) }
newline
alignl phantom { y } dlrarrow sum from { k = 1 } to { n } { k ^5 } = { alignc { { 1 } over { 12 } } n ^2 ( n + 1 ) ^2 ( 2 n ^2 + 2 n - 1 ) }
newline
alignl phantom { y } dlrarrow 6 sum from { k = 1 } to { n } { k ^5 } = n ^6 + 15 sum from { k = 1 } to { n } { k ^4 } - 20 sum from { k = 1 } to { n } { k ^3 } + 15 sum from { k = 1 } to { n } { k ^2 } - 6 sum from { k = 1 } to { n } { k } + n
newline
alignl phantom { yyyyy } = { alignc n ^6 + { { 15 } over { 30 } } ( 6 n ^5 + 15 n ^4 + 10 n ^3 - n ) - { { 20 } over { 4 } } ( n ^4 + 2 n ^3 + n ^2 ) + { { 15 } over { 6 } } ( 2 n ^3 + 3 n ^2 + n ) - { { 6 } over { 2 } } ( n ^2 + n ) + 2 n }
newline
alignl phantom { yyyyy } = { alignc { { 1 } over { 2 } } left lbrace 2 n ^6 + ( 6 n ^5 + 15 n ^4 + 10 n ^3 - n ) -10 ( n ^4 + 2 n ^3 + n ^2 ) + 5 ( 2 n ^3 + 3 n ^2 + n ) - 6 ( n ^2 + n ) + 2 n right rbrace }
newline
alignl phantom { yyyyy } = { alignc { { 1 } over { 2 } } ( 2 n ^6 + 6 n ^5 + 5 n ^4 - n ^2 ) } = { alignc { { 1 } over { 2 } } n ^2 ( n + 1 ) ^2 ( 2 n ^2 + 2 n - 1 ) }
newline
alignl phantom { y } dlrarrow sum from { k = 1 } to { n } { k ^5 } = { alignc { { 1 } over { 12 } } n ^2 ( n + 1 ) ^2 ( 2 n ^2 + 2 n - 1 ) }