5乗根の有理化 - CANADA'S WINDVIEW

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5乗根の有理化は例えば、

$a^5 - b^5 = ( a - b ) ( a^4 + a^3 b + a^2 b^2 + a b^3 + b^4 )$

と言った因数分解の公式を用います。

$\displaystyle \frac{1}{ \sqrt[5]{3} - \sqrt[5]{2} } = \frac{ ( \sqrt[5]{3} )^4 + ( \sqrt[5]{3} )^3 \sqrt[5]{2} + ( \sqrt[5]{3} )^2 ( \sqrt[5]{2} )^2 + \sqrt[5]{3} ( \sqrt[5]{2} )^3 + ( \sqrt[5]{2} )^4 }{ ( \sqrt[5]{3} - \sqrt[5]{2} ) \{ ( \sqrt[5]{3} )^4 + ( \sqrt[5]{3} )^3 \sqrt[5]{2} + ( \sqrt[5]{3} )^2 ( \sqrt[5]{2} )^2 + \sqrt[5]{3} ( \sqrt[5]{2} )^3 + ( \sqrt[5]{2} )^4 \} } \\ \displaystyle = \frac{ \sqrt[5]{3^4} + \sqrt[5]{3^3 \cdot 2} + \sqrt[5]{3^2 \cdot 2^2} + \sqrt[5]{3 \cdot 2^3} + \sqrt[5]{2^4} }{ ( \sqrt[5]{3} )^5 - ( \sqrt[5]{2} )^5 } = \frac{ \sqrt[5]{81} + \sqrt[5]{54} + \sqrt[5]{36} + \sqrt[5]{24} + \sqrt[5]{16} }{ 3 - 2 } \\ = \sqrt[5]{81} + \sqrt[5]{54} + \sqrt[5]{36} + \sqrt[5]{24} + \sqrt[5]{16}$