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三角形の面積のベクトル表示

$\angle{BAC} = \alpha$ ( $0$ ＜ $\alpha$ ＜ $\pi$ ) とすると、三角形 $ABC$ の面積 $S$ は次のように表せます。

$\displaystyle S = \frac{1}{2} | \overrightarrow{AB} | | \overrightarrow{AC} | \sin \alpha = \frac{1}{2} | \overrightarrow{AB} | | \overrightarrow{AC} | \sqrt{ 1 - \cos^2 \alpha } \\ \displaystyle = \frac{1}{2} | \overrightarrow{AB} | | \overrightarrow{AC} | \sqrt{ 1 - \left( \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{ | \overrightarrow{AB} | | \overrightarrow{AC} | } \right)^2 } = \frac{1}{2} | \overrightarrow{AB} | | \overrightarrow{AC} | \sqrt{ \frac{ | \overrightarrow{AB} |^2 | \overrightarrow{AC} |^2 - \left( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \right)^2 }{ | \overrightarrow{AB} |^2 | \overrightarrow{AC} |^2 } } \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \sqrt{ | \overrightarrow{AB} |^2 | \overrightarrow{AC} |^2 - \left( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \right)^2 }$

f:id:windview_canada:20211217184403p:plain — 三角形の面積のベクトル表示

2次元ベクトル(平面ベクトル)での成分表示

更に各ベクトルの成分を、 $\overrightarrow{AB} = ( x_1 , x_2 )$ ， $\overrightarrow{AC} = ( y_1 , y_2 )$ と置くと、面積 $S$ は次のように表せます。

$\displaystyle S = \frac{1}{2} \sqrt{ | \overrightarrow{AB} |^2 | \overrightarrow{AC} |^2 - \left( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \right)^2 } = \frac{1}{2} \sqrt{ \left( \sqrt{ x_1^2 + x_2^2 } \right)^2 \left( \sqrt{ y_1^2 + y_2^2 } \right)^2 - \left( x_1 y_1 + x_2 y_2 \right)^2 } \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \sqrt{ \left( x_1^2 + x_2^2 \right) \left( y_1^2 + y_2^2 \right) - \left\{ ( x_1 y_1 )^2 + 2 ( x_1 y_1 ) ( x_2 y_2 ) + ( x_2 y_2 )^2 \right\} } \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \sqrt{ x_1^2 y_1^2 + x_2^2 y_1^2 + x_1^2 y_2^2 + x_2^2 y_2^2 - x_1^2 y_1^2 - 2 x_1 x_2 y_1 y_2 - x_2^2 y_2^2 } = \frac{1}{2} \sqrt{ x_1^2 y_2^2 - 2 x_1 x_2 y_1 y_2 + ( x_2 y_1 )^2 } \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \sqrt{ ( x_1 y_2 )^2 - 2 ( x_1 y_2 ) ( x_2 y_1 ) + ( x_2 y_1 )^2 } = \frac{1}{2} \sqrt{ ( x_1 y_2 - x_2 y_1 )^2 } = \frac{1}{2} | x_1 y_2 - x_2 y_1 |$

3次元ベクトル(空間ベクトル)での成分表示

$\overrightarrow{AB}$ ， $\overrightarrow{AC}$ を3次元ベクトル(空間ベクトル)とし、各ベクトルの成分を、 $\overrightarrow{AB} = ( B_x , B_y, B_z )$ ， $\overrightarrow{AC} = ( C_x , C_y, C_z )$ と置くと、面積 $S$ は次のように表せます。