四次方程式の解と係数の関係

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四次方程式の解と係数の関係

四次方程式の解と係数の関係です。

$x$ に関する四次方程式 $a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + h = 0$ ( $a \neq 0$ ) の4解を $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ ， $\delta$ と置くと、

因数定理より、

$a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + h = a ( x - \alpha ) ( x - \beta ) ( x - \gamma ) ( x - \delta )$ と表せます。

これより、

$a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + h = a \left\{ x^2 - ( \alpha + \beta ) x + \alpha \beta \right\} \left\{ x^2 - ( \gamma + \delta ) x + \gamma \delta \right\} \\ = a \left\{ x^4 - ( \alpha + \beta ) x^3 + \alpha \beta x^2 - ( \gamma + \delta ) x^3 + ( \alpha + \beta )( \gamma + \delta ) x^2 - \alpha \beta ( \gamma + \delta ) x + \gamma \delta x^2 - ( \alpha + \beta ) \gamma \delta x + \alpha \beta \gamma \delta \right\} \\ = a \left[ x^4 - ( \alpha + \beta + \gamma + \delta ) x^3 + \left\{ ( \alpha + \beta )( \gamma + \delta ) + \alpha \beta + \gamma \delta \right\} x^2 - \left\{ \alpha \beta ( \gamma + \delta ) + ( \alpha + \beta ) \gamma \delta \right\} x + \alpha \beta \gamma \delta \right] \\ = a \left\{ x ^ 4 - ( \alpha + \beta + \gamma + \delta ) x^3 + ( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \delta + \delta \alpha + \alpha \gamma + \beta \delta ) x^2 - ( \alpha \beta \gamma + \beta \gamma \delta + \gamma \delta \alpha + \delta \alpha \beta ) x + \alpha \beta \gamma \delta \right\} \\ \displaystyle \Leftrightarrow x^4 + \frac{b}{a} x^3 + \frac{c}{a} x^2 + \frac{d}{a} x + \frac{h}{a} \\ = x ^ 4 - ( \alpha + \beta + \gamma + \delta ) x^3 + ( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \delta + \delta \alpha + \alpha \gamma + \beta \delta ) x^2 - ( \alpha \beta \gamma + \beta \gamma \delta + \gamma \delta \alpha + \delta \alpha \beta ) x + \alpha \beta \gamma \delta$

よって

$\displaystyle \alpha + \beta + \gamma + \delta = - \frac{b}{a}$

$\displaystyle \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \delta + \delta \alpha + \alpha \gamma + \beta \delta = \frac{c}{a}$

$\displaystyle \alpha \beta \gamma + \beta \gamma \delta + \gamma \delta \alpha + \delta \alpha \beta = - \frac{d}{a}$

$\displaystyle \alpha \beta \gamma \delta = \frac{h}{a}$

4文字の対称式になってくると、式を展開していて文字の整理が大変になってきますね。その場合、 $\alpha$ → $\beta$ → $\gamma$ → $\delta$ → $\alpha$ と回転させると計算ミスも減らせて、見た目の美しさも保てて良いです。3文字の場合、5文字以上の場合も同様です。