CANADA'S WINDVIEW

趣味の写真を投稿していきます。昆虫好きな長男と一緒に昆虫を追いかけています。最初の年はセミやカマキリ、次の年はカブトムシ、トンボ、そして今年は…

三角関数 - 基礎的公式・加法定理・倍角公式・半角公式

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三角関数の基礎的公式と加法定理と倍角公式と半角公式です。

基礎的公式

 \displaystyle \sin ^ {2} \alpha + \cos ^ {2} \alpha = 1 \\ \displaystyle \left( \Leftrightarrow \sin ^ {2} \alpha = 1 - \cos ^ {2} \alpha \Leftrightarrow \cos ^ {2} \alpha = 1 - \sin ^ {2} \alpha \right)
 \displaystyle \tan \alpha = \frac { \sin \alpha }{ \cos \alpha }
 \displaystyle \tan ^ {2} \alpha + 1 = \frac {1}{\cos ^ {2} \alpha } \\ \displaystyle \left( \Leftrightarrow \tan ^ {2} \alpha = \frac {1}{\cos ^ {2} \alpha } - 1 \Leftrightarrow \frac{1}{ 1 + \tan ^ {2} \alpha } = \cos^{2} \alpha \right)
 \displaystyle \frac {1}{\tan ^ {2} \alpha } + 1 = \frac {1}{\sin ^ {2} \alpha } \\ \displaystyle \left( \Leftrightarrow \frac {1}{\tan ^ {2} \alpha } = \frac {1}{\sin ^ {2} \alpha } - 1 \right)

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三角比と三平方の定理

加法定理

 \displaystyle \sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
 \displaystyle \sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta
 \displaystyle \cos ( \alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
 \displaystyle \cos ( \alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
 \displaystyle \tan ( \alpha + \beta ) = \frac {\tan \alpha + \tan \beta }{ 1 - \tan \alpha \tan \beta }
 \displaystyle \tan ( \alpha - \beta ) = \frac {\tan \alpha - \tan \beta }{ 1 + \tan \alpha \tan \beta }
 

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加法定理の解説図


倍角の公式

加法定理で  \beta = \alpha を代入する。
 \displaystyle \sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha
 \displaystyle \cos 2 \alpha = 2 \cos ^ {2} \alpha - 1 = 1 - 2 \sin ^ {2} \alpha
 \displaystyle \tan 2 \alpha = \frac { 2 \tan \alpha }{ 1 - \tan ^ {2} \alpha } \left( = \frac {1}{ 1- \tan \alpha } - \frac {1}{ 1+ \tan \alpha } \right)

半角の公式

余弦(cos)の倍角の公式で  2 \alpha = \theta と置く。
 \displaystyle \cos \theta = 1 - 2 \sin ^ {2} {\frac{\theta}{2}} \Leftrightarrow 2 \sin ^ {2} {\frac{\theta}{2}} = 1 - \cos \theta \Leftrightarrow \sin ^ {2} {\frac{\theta}{2}} = \frac { 1- \cos \theta }{2}
 \displaystyle  \cos \theta = 2 \cos ^ {2} {\frac{\theta}{2}} - 1 \Leftrightarrow 2 \cos ^ {2} {\frac{\theta}{2}} = 1 + \cos \theta \Leftrightarrow \cos ^ {2} {\frac{\theta}{2}} = \frac { 1+ \cos \theta }{2}
 \displaystyle \tan ^ {2} {\frac{\theta}{2}} = \frac{ \sin ^ {2} {\frac{\theta}{2}} }{ \cos ^ {2} {\frac{\theta}{2}} } = \frac{ \dfrac{ 1- \cos \theta }{ 2 } }{ \dfrac{ 1+ \cos \theta }{ 2 } } = \frac { 1- \cos \theta }{ 1+ \cos \theta }

 



LibreOffice 数式(Math)のソース:

 

sin ^2 %alpha + cos ^2 %alpha = 1

 

tan %alpha = { sin %alpha } over { cos %alpha }

 

tan ^2 %alpha + 1 = { 1 } over { cos ^2 %alpha }

 

{ { 1 } over { tan ^ 2 %alpha } } + 1 = { 1 } over { sin ^ 2 %alpha }

 

sin ( %alpha + %beta ) = sin %alpha cos %beta + cos %alpha sin %beta

 

sin ( %alpha - %beta ) = sin %alpha cos %beta - cos %alpha sin %beta

 

cos ( %alpha + %beta ) = cos %alpha cos %beta - sin %alpha sin %beta

 

cos ( %alpha - %beta ) = cos %alpha cos %beta + sin %alpha sin %beta

 

tan ( %alpha + %beta ) = { tan %alpha + tan %beta } over { 1 - tan %alpha tan %beta }

 

tan ( %alpha - %beta ) = { tan %alpha - tan %beta } over { 1 + tan %alpha tan %beta }

 

sin 2%alpha = 2 sin %alpha cos %alpha

 

cos 2 %alpha = 2 cos ^2 %alpha - 1

 

tan 2 %alpha = { 2 tan %alpha } over { 1 - tan ^2 %alpha }

 

alignl cos 2 %alpha = 2 cos ^2 %alpha - 1 = 1 - 2 sin ^2 %alpha dlrarrow sin ^2 %alpha = { alignc { 1 - cos 2 %alpha } over { 2 } }

 

%alpha = { %theta } over { 2 }

 

sin ^2 { { %theta } over { 2 } } = { alignc { 1 - cos %theta } over { 2 } }

 

alignl cos 2 %alpha = 2 cos ^2 %alpha - 1 dlrarrow cos ^2 %alpha = { alignc { 1 + cos 2 %alpha } over { 2 } }

 

cos ^2 { { %theta } over { 2 } } = { alignc { 1 + cos %theta } over { 2 } }

 

alignl tan ^2 %alpha = { alignc { sin ^2 %alpha } over { cos ^2 %alpha } }
= { alignc { { 1 - cos 2 %alpha } over { 2 } } over { { 1 + cos 2 %alpha } over { 2 } } }
= { alignc { 1 - cos 2 %alpha } over { 1 + cos 2 %alpha } }

 

alignl tan ^2 { { %theta } over { 2 } }
= { alignc { 1 - cos %theta } over { 1 + cos %theta } }