三角関数 - 基礎的公式・加法定理・倍角公式・半角公式

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電]

三角関数の基礎的公式と加法定理と倍角公式と半角公式です。

基礎的公式

$\displaystyle \sin ^ {2} \alpha + \cos ^ {2} \alpha = 1 \\ \displaystyle \left( \Leftrightarrow \sin ^ {2} \alpha = 1 - \cos ^ {2} \alpha \Leftrightarrow \cos ^ {2} \alpha = 1 - \sin ^ {2} \alpha \right)$

$\displaystyle \tan \alpha = \frac { \sin \alpha }{ \cos \alpha }$

$\displaystyle \tan ^ {2} \alpha + 1 = \frac {1}{\cos ^ {2} \alpha } \\ \displaystyle \left( \Leftrightarrow \tan ^ {2} \alpha = \frac {1}{\cos ^ {2} \alpha } - 1 \Leftrightarrow \frac{1}{ 1 + \tan ^ {2} \alpha } = \cos^{2} \alpha \right)$

$\displaystyle \frac {1}{\tan ^ {2} \alpha } + 1 = \frac {1}{\sin ^ {2} \alpha } \\ \displaystyle \left( \Leftrightarrow \frac {1}{\tan ^ {2} \alpha } = \frac {1}{\sin ^ {2} \alpha } - 1 \right)$

f:id:windview_canada:20201211005745p:plain — 三角比と三平方の定理

加法定理

$\displaystyle \sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

$\displaystyle \sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$

$\displaystyle \cos ( \alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$\displaystyle \cos ( \alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

$\displaystyle \tan ( \alpha + \beta ) = \frac {\tan \alpha + \tan \beta }{ 1 - \tan \alpha \tan \beta }$

$\displaystyle \tan ( \alpha - \beta ) = \frac {\tan \alpha - \tan \beta }{ 1 + \tan \alpha \tan \beta }$

f:id:windview_canada:20201211214926p:plain — 加法定理の解説図

倍角の公式

加法定理で $\beta = \alpha$ を代入する。

$\displaystyle \sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$

$\displaystyle \cos 2 \alpha = 2 \cos ^ {2} \alpha - 1 = 1 - 2 \sin ^ {2} \alpha$

$\displaystyle \tan 2 \alpha = \frac { 2 \tan \alpha }{ 1 - \tan ^ {2} \alpha } \left( = \frac {1}{ 1- \tan \alpha } - \frac {1}{ 1+ \tan \alpha } \right)$

半角の公式

余弦(cos)の倍角の公式で $2 \alpha = \theta$ と置く。

$\displaystyle \cos \theta = 1 - 2 \sin ^ {2} {\frac{\theta}{2}} \Leftrightarrow 2 \sin ^ {2} {\frac{\theta}{2}} = 1 - \cos \theta \Leftrightarrow \sin ^ {2} {\frac{\theta}{2}} = \frac { 1- \cos \theta }{2}$

$\displaystyle \cos \theta = 2 \cos ^ {2} {\frac{\theta}{2}} - 1 \Leftrightarrow 2 \cos ^ {2} {\frac{\theta}{2}} = 1 + \cos \theta \Leftrightarrow \cos ^ {2} {\frac{\theta}{2}} = \frac { 1+ \cos \theta }{2}$

$\displaystyle \tan ^ {2} {\frac{\theta}{2}} = \frac{ \sin ^ {2} {\frac{\theta}{2}} }{ \cos ^ {2} {\frac{\theta}{2}} } = \frac{ \dfrac{ 1- \cos \theta }{ 2 } }{ \dfrac{ 1+ \cos \theta }{ 2 } } = \frac { 1- \cos \theta }{ 1+ \cos \theta }$

＜関連＞
三角関数の定義
三角比
三角関数 - 積和公式・和積公式

LibreOffice 数式(Math)のソース：

sin ^2 %alpha + cos ^2 %alpha = 1

tan %alpha = { sin %alpha } over { cos %alpha }

tan ^2 %alpha + 1 = { 1 } over { cos ^2 %alpha }

{ { 1 } over { tan ^ 2 %alpha } } + 1 = { 1 } over { sin ^ 2 %alpha }

sin ( %alpha + %beta ) = sin %alpha cos %beta + cos %alpha sin %beta

sin ( %alpha - %beta ) = sin %alpha cos %beta - cos %alpha sin %beta

cos ( %alpha + %beta ) = cos %alpha cos %beta - sin %alpha sin %beta

cos ( %alpha - %beta ) = cos %alpha cos %beta + sin %alpha sin %beta

tan ( %alpha + %beta ) = { tan %alpha + tan %beta } over { 1 - tan %alpha tan %beta }

tan ( %alpha - %beta ) = { tan %alpha - tan %beta } over { 1 + tan %alpha tan %beta }

sin 2%alpha = 2 sin %alpha cos %alpha

cos 2 %alpha = 2 cos ^2 %alpha - 1

tan 2 %alpha = { 2 tan %alpha } over { 1 - tan ^2 %alpha }

alignl cos 2 %alpha = 2 cos ^2 %alpha - 1 = 1 - 2 sin ^2 %alpha dlrarrow sin ^2 %alpha = { alignc { 1 - cos 2 %alpha } over { 2 } }

%alpha = { %theta } over { 2 }

sin ^2 { { %theta } over { 2 } } = { alignc { 1 - cos %theta } over { 2 } }

alignl cos 2 %alpha = 2 cos ^2 %alpha - 1 dlrarrow cos ^2 %alpha = { alignc { 1 + cos 2 %alpha } over { 2 } }

cos ^2 { { %theta } over { 2 } } = { alignc { 1 + cos %theta } over { 2 } }

alignl tan ^2 %alpha = { alignc { sin ^2 %alpha } over { cos ^2 %alpha } }
= { alignc { { 1 - cos 2 %alpha } over { 2 } } over { { 1 + cos 2 %alpha } over { 2 } } }
= { alignc { 1 - cos 2 %alpha } over { 1 + cos 2 %alpha } }

alignl tan ^2 { { %theta } over { 2 } }
= { alignc { 1 - cos %theta } over { 1 + cos %theta } }