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三角関数 - 積和公式・和積公式

三角関数の積和公式と和積公式の導出です。

準備

加法定理の4つの式を用います。

$\displaystyle \sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \tag{1}$

$\displaystyle \sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \tag{2}$

$\displaystyle \cos ( \alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \tag{3}$

$\displaystyle \cos ( \alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \tag{4}$

積和公式

$(1) + (2)$ より

$\displaystyle \sin ( \alpha + \beta ) + \sin ( \alpha - \beta ) = 2 \sin \alpha \cos \beta \tag{5}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left\{ \sin ( \alpha + \beta ) + \sin ( \alpha - \beta ) \right\} \tag{6}$

$(1) - (2)$ より

$\displaystyle \sin ( \alpha + \beta ) - \sin ( \alpha - \beta ) = 2 \cos \alpha \sin \beta \tag{7}$
$\displaystyle \Leftrightarrow \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left\{ \sin ( \alpha + \beta ) - \sin ( \alpha - \beta ) \right\} \tag{8}$

$(3) + (4)$ より

$\displaystyle \cos ( \alpha + \beta ) + \cos ( \alpha - \beta ) = 2 \cos \alpha \cos \beta \tag{9}$
$\displaystyle \Leftrightarrow \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left\{ \cos ( \alpha + \beta ) + \cos ( \alpha - \beta ) \right\} \tag{10}$

$(3) - (4)$ より

$\displaystyle \cos ( \alpha + \beta ) - \cos ( \alpha - \beta ) = - 2 \sin \alpha \sin \beta \tag{11}$
$\displaystyle \Leftrightarrow \sin \alpha \sin \beta = - \frac{1}{2} \left\{ \cos ( \alpha + \beta ) - \cos ( \alpha - \beta ) \right\} \tag{12}$

$(6)$ ， $(8)$ ， $(10)$ ， $(12)$ が積和公式です。

和積公式

ここで、 $\alpha + \beta = A$ ， $\alpha - \beta = B$ と置くと、 $\displaystyle \alpha = \frac{A + B}{2}$ ， $\displaystyle \beta = \frac{A - B}{2}$ ．

これを、積和公式の $(5)$ ， $(7)$ ， $(9)$ ， $(11)$ へ代入すると、

$\displaystyle \sin A + \sin B = 2 \sin {\frac{A + B}{2}} \cos {\frac{A - B}{2}} \tag{13}$
$\displaystyle \sin A - \sin B = 2 \cos {\frac{A + B}{2}} \sin {\frac{A - B}{2}} \tag{14}$
$\displaystyle \cos A + \cos B = 2 \cos {\frac{A + B}{2}} \cos {\frac{A - B}{2}} \tag{15}$
$\displaystyle \cos A - \cos B = - 2 \sin {\frac{A + B}{2}} \sin {\frac{A - B}{2}} \tag{16}$