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三角関数 - n倍角の公式

三角関数のn倍角の公式を $n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ の場合を順番に求めたわけですが、ここでこれらをオイラーの公式とド・モアブルの定理を用いて一般化することを考えます。

$e^{ix} =\cos x + i \sin x \tag{1}$

に於いて、 $x = n \theta$ ， $x = - n \theta$ を代入すると、

$e^{i n \theta} = \cos n \theta + i \sin n \theta = \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n} \tag{2}$

$e^{i ( - n \theta ) } = \cos ( - n \theta ) + i \sin ( - n \theta ) = \left\{ \cos ( - \theta ) - i \sin ( - \theta ) \right\}^{n}$

$\Leftrightarrow e^{- i n \theta} = \cos n \theta - i \sin n \theta = \left( \cos \theta - i \sin \theta \right)^{n} \tag{3}$

$( 2 ) + ( 3 )$ より、

$2 \cos n \theta = e^{i n \theta} + e^{ - i n \theta }$

$\displaystyle \Leftrightarrow \cos n \theta = \frac{1}{2} \left( e^{i n \theta} + e^{ - i n \theta } \right) = \frac{1}{2} \left\{ \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n} + \left( \cos \theta - i \sin \theta \right)^{n} \right\} \tag{4}$

$( 2 ) - ( 3 )$ より、

$2 i \sin n \theta = e^{i n \theta} - e^{ - i n \theta }$

$\displaystyle \Leftrightarrow \sin n \theta = \frac{1}{ 2 i } \left( e^{i n \theta} - e^{ - i n \theta } \right) = - \frac{ i }{ 2 } \left( e^{i n \theta} - e^{ - i n \theta } \right) = - \frac{i}{2} \left\{ \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n} - \left( \cos \theta - i \sin \theta \right)^{n} \right\} \tag{5}$

$(4)$ ， $(5)$ より

$\displaystyle \tan n \theta = \frac{ \sin n \theta }{ \cos n \theta } = ( - i ) \cdot \frac{ e^{i n \theta} - e^{ - i n \theta } }{ e^{i n \theta} + e^{ - i n \theta } } = ( - i ) \cdot \frac{ \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n} - \left( \cos \theta - i \sin \theta \right)^{n} }{ \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n} + \left( \cos \theta - i \sin \theta \right)^{n} } \tag{6}$