CANADA'S WINDVIEW

趣味の写真を投稿していきます。昆虫好きな長男と一緒に昆虫を追いかけています。最初の年はセミやカマキリ、次の年はカブトムシ、トンボ、そして今年は…

単位行列とその逆行列

数学・幾何学

カテゴリー[ 昆虫| 田園| 花| 街| 数学・幾何学| 寺院| 城| 祭り| 鉄道| 海| 風力発電]

単位行列とその逆行列

単位行列

単位行列

単位行列とは、対角成分が 1 でそれ以外の成分が 0 である正方行列のことです。 \mathbf{E} とか \mathbf{I} と置くことが多いです。

具体的には 2 \times 2 行列の場合、

$$ \displaystyle \mathbf{E} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

\tag{1}

3 \times 3 行列の場合、

$$ \displaystyle \mathbf{E} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{pmatrix} $$

\tag{2}

一般的に、行列要素を a_{ij} とすると

$$ a_{ij} = 
    \begin{cases}
        {1 \ ( i = j )}\\
        {0 \ ( i \neq j ) }
    \end{cases}
$$

\tag{3}

と表現できます。

また、行列表示では

$$ \displaystyle \mathbf{E} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} $$

\tag{4}

単位行列の性質

ある行列に対して左から掛けても右から掛けても元の行列になります。

\mathbf{E} \mathbf{A} = \mathbf{A} \mathbf{E} = \mathbf{A} \tag{5} 

スカラー量の場合、或るスカラー量に1を掛けても元のスカラー量になることに似ています。

単位行列の冪乗

\mathbf{E}^{n} = \mathbf{E}

\tag{6}

即ち、単位行列 \mathbf{E} は何回掛けても単位行列の儘(まま)です。

これを 2 \times 2 行列で \mathbf{E}^{2} で確認してみます。

$$ \displaystyle \mathbf{E}^{2} = \mathbf{E} \mathbf{E} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \mathbf{E} $$

\tag{7}

これは 1^n = 1 ということに相当します。

逆行列

正方行列 \mathbf{A} に対して \mathbf{A} \mathbf{B} = \mathbf{B} \mathbf{A} = \mathbf{E} となる行列 \mathbf{B} のことを \mathbf{A} の逆行列と言い、 \mathbf{A}^{-1} と表します。

即ち、

\mathbf{A} \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{A} = \mathbf{E} \tag{8} 

或るスカラー量にそのスカラー量の逆数を掛けると 1 になることに相当します。

単位行列の逆行列

単位行列の逆行列は単位行列です。

逆行列の定義よりこれは直ちに言うことが出来ます。

\mathbf{E} \mathbf{E}^{-1} = \mathbf{E}^{-1} \mathbf{E} = \mathbf{E} \tag{7} 

1 の逆数は 1 であることに似ています。