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行列の和・差・スカラー倍・積・冪乗

行列の和・差

行列の和・差の演算操作を行うためには行列の行数と列数が同じである必要があります。

$2 \times 2$ 行列( $2$ 次正方行列)での例を示します。

次の2行列
$$ \displaystyle \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} $，$ \displaystyle \mathbf{B} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} $$

について、

$$ \displaystyle \mathbf{A} + \mathbf{B} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{pmatrix} $$

$$ \displaystyle \mathbf{A} - \mathbf{B} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} - b_{11} & a_{12} - b_{12} \\ a_{21} - b_{21} & a_{22} - b_{22} \end{pmatrix} $$

以上から、行列の和・差の演算操作を行うということは、行列各成分の和・差を行うことに等しいということです。

行列のスカラー倍

$2 \times 2$ 行列

$$ \displaystyle \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} $$

に対して、スカラー $\lambda$ 倍すると、

$$ \displaystyle \lambda \mathbf{A} = \lambda \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} \end{pmatrix} $$

行列の積

次の2行列

$$ \displaystyle \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} $$，$$ \displaystyle \mathbf{B} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} $$

に対して、

$$ \displaystyle \mathbf{A} \mathbf{B} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} & a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} \\ a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} & a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} \end{pmatrix} $$

$$ \displaystyle \mathbf{B} \mathbf{A} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} b_{11} + a_{21} b_{12} & a_{12} b_{11} + a_{22} b_{12} \\ a_{11} b_{21} + a_{21} b_{22} & a_{12} b_{21} + a_{22} b_{22} \end{pmatrix} $$

行列の場合、掛ける順番によって結果の行列が異なる事が判ります。即ち行列の積に於いては交換法則は成り立ちません。

即ち

$\mathbf{A} \mathbf{B} \neq \mathbf{B} \mathbf{A}$