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GeoGebraで正十二面体

GeoGebraで正十二面体を描いて(プロットして)みました。

f:id:windview_canada:20220131000804p:plain — 正十二面体01

f:id:windview_canada:20220131224338p:plain — 正十二面体02

f:id:windview_canada:20220131224355p:plain — 正十二面体03

f:id:windview_canada:20220131224415p:plain — 正十二面体04

座標は、
$z = 1$ の平面上に、点 $A_1$ $\left( 1, 1, 1 \right)$ ，点 $A_2$ $\left( -1, 1, 1 \right)$ ，点 $A_3$ $\left( -1, -1, 1 \right)$ ，点 $A_4$ $\left( 1, -1, 1 \right)$ ．
$z = -1$ の平面上に、点 $A_5$ $\left( 1, 1, -1 \right)$ ，点 $A_6$ $\left( -1, 1, -1 \right)$ ，点 $A_7$ $\left( -1, -1, -1 \right)$ ，点 $A_8$ $\left( 1, -1, -1 \right)$ ．
$z = 0$ の平面上に、点 $B_1$ $\left( \phi, \phi^{-1}, 0 \right)$ ，点 $B_2$ $\left( -\phi, \phi^{-1}, 0 \right)$ ，点 $B_3$ $\left( -\phi, -\phi^{-1}, 0 \right)$ ，点 $B_4$ $\left( \phi, - \phi^{-1}, 0 \right)$ ．
$x = 0$ の平面上に、点 $C_1$ $\left( 0, \phi, \phi^{-1} \right)$ ，点 $C_2$ $\left( 0, -\phi, \phi^{-1} \right)$ ，点 $C_3$ $\left( 0, -\phi, -\phi^{-1} \right)$ ，点 $C_4$ $\left( 0, \phi, - \phi^{-1} \right)$ ．
$y = 0$ の平面上に、点 $D_1$ $\left( \phi^{-1}, 0, \phi \right)$ ，点 $D_2$ $\left( \phi^{-1}, 0, -\phi \right)$ ，点 $D_3$ $\left( -\phi^{-1}, 0, -\phi \right)$ ，点 $D_4$ $\left( - \phi^{-1}, 0, \phi \right)$ ．
を取ります。

但し、 $\phi$ は黄金比で、
$\displaystyle \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618033\cdots$
$\displaystyle \phi^{-1} = \dfrac{1}{\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}} = \frac{2}{1 + \sqrt{5}} = \frac{2 \left( \sqrt{5} - 1 \right) }{ \left( \sqrt{5} + 1 \right) \left( \sqrt{5} - 1 \right) } = \frac{2 \left( \sqrt{5} - 1 \right)}{5 - 1} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618033\cdots$
です。

f:id:windview_canada:20220201180856p:plain — 平面 $z=1$

f:id:windview_canada:20220201181029p:plain — 平面 $z=0$

この時、一辺の長さ(例えば $B_1 B_4$ )は、

$\displaystyle 2 \phi^{-1} = 2 \cdot \frac{2}{1 + \sqrt{5}} = \frac{ 4 \left( \sqrt{5} - 1 \right) }{ \left( \sqrt{5} + 1 \right) \left( \sqrt{5} - 1 \right) } = \frac{ 4 \left( \sqrt{5} - 1 \right) }{ 5 - 1 } = \sqrt{5} - 1$