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趣味の写真を投稿していきます。昆虫好きな長男と一緒に昆虫を追いかけています。最初の年はセミやカマキリ、次の年はカブトムシ、トンボ、そして今年は…

正五角形と黄金比(2)

数学・幾何学

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正五角形と黄金比(2)

正五角形と対角線 (2)

一辺の長さが 1 の正五角形 ABCDE の対角線 BE の長さ \alpha を求めるもう一つのアプローチです。

先ず、 AC と BE の交点を F とします。

そうすると、 CD /\!\!/ FE， CF /\!\!/ DE と CD = DE = 1 より、 \square CDEF は菱形であることが判ります。

これより、 FC = FE = 1 なので \triangle FCE は二等辺三角形となり、 \triangle FCE も FA = FB = \alpha - 1 で二等辺三角形と言えます。更に AB /\!\!/ EC より \angle FAB = \angle FCE ， \angle FBA = \angle FEC の為、 \triangle FAB \text{∽} \triangle FCE と言えます。

これより、次の関係式が成り立ちます。

\alpha : 1 = 1 : \alpha - 1 \tag{1}

これから \alpha を求めるのですが、求め方は「正五角形と黄金比」のページで詳しく解説しています。