正多角形の性質 - 平行線

正多角形のある頂点を $P_0$ とし、同じ方向に廻った時の頂点を順に $P_1, P_2, P_3, \cdots$ 、反対方向に廻った時の頂点を順に $P_{-1}, P_{-2}, P_{-3}, \cdots$ と置くと、次の関係が成り立つ。

$P_1 P_2 \parallel P_0 P_3 \parallel P_{-1} P_4 \parallel P_{-2} P_5 \parallel \cdots \parallel P_{-k} P_{k + 3}$

(kは整数)

これは図形の対称性からも明らかなのですが、補助線を引いてそれぞれの角度を計算して行っても辿り着けます。中学校の学生さんは、この性質を知っておくと速く解ける問題があるかも知れませんね。

図は、Adobe Illustratorで描いていたものをPDFに変換してキャプチャしています。この図の正n角形は、実際は正19角形です。

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