テーラー展開

無限回微分可能な関数 $f (x)$ について

$\displaystyle f (x) = f ( a ) + f' ( a ) ( x - a ) + \frac{f'' ( a )}{ 2 ! } ( x - a ) ^ 2 + \frac{f''' ( a )}{ 3 ! } ( x - a ) ^ 3 + \cdots + \frac{f ^{(n)} ( a )}{ n ! } ( x - a ) ^ {n} + \cdots \\ \displaystyle \quad = \sum_{n = 0}^{\infty} { \frac{f ^{(n)} ( a )}{ n ! } ( x - a ) ^ {n} }$

を $f (x)$ の $x = a$ まわりでのテーラー展開という。

マクローリン展開

特に原点( $x = 0$ )まわりでのテーラー展開を、マクローリン展開という。

$\displaystyle f (x) = f ( 0 ) + f' ( 0 ) x + \frac{f'' ( 0 )}{ 2 ! } x ^ {2} + \frac{f''' ( 0 )}{ 3 ! } x ^ {3} + \cdots + \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{ n ! } x ^ {n} + \cdots \\ \displaystyle \quad = \sum_{n = 0}^{\infty} { \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{ n ! } x ^ {n} }$

LibreOffice 数式(Math)のソース：

alignl f ( x ) = { alignc f ( a ) + f ' ( a ) ( x - a ) + { { f ' ' ( a ) } over { 2 ! } } { ( x - a ) ^2 } + { { f ''' ( a ) } over { 3 ! } } { ( x - a ) ^3 } + dotsaxis + { { f ^(n) ( a ) } over { n ! } } { ( x - a ) ^n } + dotsaxis }
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alignl phantom { y } = { alignc sum from { n = 0 } to { infinity } { { { f ^(n) ( a ) } over { n ! } } { ( x - a ) ^n } } }

alignl f ( x ) = { alignc f ( 0 ) + f ' ( 0 ) x + { { f ' ' ( 0 ) } over { 2 ! } } { x ^2 } + { { f ''' ( 0 ) } over { 3 ! } } { x ^3 } + dotsaxis + { { f ^(n) ( 0 ) } over { n ! } } { x ^n } + dotsaxis }
newline
alignl phantom { y } = { alignc sum from { n = 0 } to { infinity } { { { f ^(n) ( 0 ) } over { n ! } } { x ^n } } }