ブラックホール関連方程式

ブラックホール関連の方程式です。

アインシュタイン方程式

$\displaystyle R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{ 8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$

$R_{\mu\nu}$ ：リッチテンソル。リーマン曲率テンソルから2成分を集約したもの

$g_{\mu\nu}$ ：計量テンソル

$G$ ：重力定数

$T_{\mu\nu}$ ：宇宙内の物質系のもつエネルギーテンソル

$\displaystyle G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R$ ：アインシュタインテンソル

$\displaystyle \kappa = \frac{ 8 \pi G}{c^4}$ ：アインシュタイン定数

これに宇宙定数(宇宙項)を加えたものが

$\displaystyle R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{ 8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$

この式を、球状の天体があってその周辺が真空という仮定条件で、更に時空が球対称という条件を加えて解いたものが、シュワルツシルト計量(ブラックホール解)である。

シュワルツシルト計量(ブラックホール解)

$\displaystyle ds^{2} = - \left( 1 - \frac{2 G M}{c^{2} r} \right) d ( c t ) ^ {2} + \frac{2 G M}{c^{2} r} + r ^{2} \left( d \theta ^{2} + \sin ^{2} \theta d \phi ^{2} \right)$

$M$ ：重力を及ぼす中心物体の質量

このシュワルツシルト計量には2つの特異点が存在し、一つは $r = 0$ 、もう一つは $\displaystyle r = \frac{2 G M}{c^{2}}$ である。特に後者をシュワルツシルト半径と呼ぶ。

シュワルツシルト半径

この半径以内のものは光でさえもブラックホールから脱出できないとされる。

$\displaystyle r_g = \frac{2 G M}{c^{2}}$

＜関連＞
宇宙を支配する数式
マクスウェルの方程式

LibreOffice 数式(Math)のソース：

R_{ %mu%nu } - { { 1 } over { 2 } } g_{ %mu%nu } R = { { 8 %pi G } over { c ^ 4 } } T_{ %mu%nu }

R_{ %mu%nu } - { { 1 } over { 2 } } g_{ %mu%nu } R + %LAMBDA g_{ %mu%nu } = { { 8 %pi G } over { c ^ 4 } } T_{ %mu%nu }

ds ^ 2 = - left ( 1 - { { 2 GM } over { c ^ 2 r } } right ) d ( ct ) ^2 + { dr ^ 2 } over { 1 - { { 2 GM } over { c ^2 r } } } + r ^2 ( d%theta ^2 + sin ^2 %theta d%phi ^2 )

r _g = { 2 GM } over { c ^ 2 }