CANADA'S WINDVIEW

趣味の写真を投稿していきます。昆虫好きな長男と一緒に昆虫を追いかけています。最初の年はセミやカマキリ、次の年はカブトムシ、トンボ、そして今年は…

微分の公式

カテゴリー[ 昆虫| 田園| | 数学・幾何学| 寺院| | 祭り| 鉄道| | 風力発電]

イメージ 1

イメージ 2

イメージ 3


二つの関数(f(x)とg(x))の積と和の微分の公式とx^nの微分の公式、合成関数の微分の公式の導出です。

 

積の微分法の公式の導出

f(x), g(x)x微分可能とするとf(x), g(x)導関数はそれぞれ

 \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac {f( x + h ) - f(x) }{h}
 \displaystyle g'(x) = \lim_{h \to 0} \frac {g( x + h ) - g(x) }{h}

と定義されるので、f(x)g(x)の積の導関数

 \displaystyle \{f(x)g(x)\}' = \lim_{h \to 0} \frac {f( x + h ) g( x + h ) - f(x) g(x) }{h}
 \displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac {f( x + h ) g( x + h ) - f( x + h ) g(x) + f( x + h ) g(x) - f(x) g(x) }{h}
 \displaystyle = \lim_{h \to 0} \left\{ f( x + h ) \cdot { \frac {g( x + h ) - g(x)}{h} } + { \frac {f( x + h ) - f(x)}{h} } \cdot g(x) \right\}
 \displaystyle = f(x) g'(x) + f'(x) g(x)

商の微分法の公式の導出

f(x), g(x)x微分可能で、かつg(x) \neq 0の時、 f(x)g(x)で割った商の導関数

 \displaystyle \left\{ \frac {f(x)}{g(x)} \right\}' = \lim_{h \to 0} \left\{ \frac { \frac {f( x + h )}{g( x + h )} - \frac {f(x)}{g(x)} }{h} \right\} = \lim_{h \to 0} \left\{ \frac { \frac {f( x + h ) g(x) - f(x) g( x + h )} {g( x + h ) g(x)} }{h} \right\}
 \displaystyle = \lim_{h \to 0} \left\{ \frac {f( x + h ) g(x) - f(x) g( x ) - f(x) g( x + h ) + f(x) g( x ) } {g( x + h ) g(x) \cdot h } \right\}
 \displaystyle = \lim_{h \to 0} \left\{ \frac { { \frac {f( x + h ) - f(x) }{h} } \cdot g(x) - f(x) \cdot { \frac {g( x + h ) - g( x )}{ h} } } {g( x + h ) g(x) } \right\} = \frac { f'(x) g(x) - f(x) g'(x) }{ \left\{ g(x) \right\}^2 }

特に f(x) = 1の時、 f'(x) = 0なので、

 \displaystyle \left\{ \frac {1}{ g(x) } \right\}' = \frac { - g'(x) }{ \left\{ g(x) \right\}^2 }

更に、 f(x) = 1かつ g(x) = xの時、 f'(x) = 0かつ g'(x) = 1なので、

 \displaystyle \left\{ \frac {1}{ x } \right\}' = - \frac { 1 }{ x^2 }

 x^n微分の公式の導出

自然数 nに対して、 f(x) = x^n x微分可能な場合、

 \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac { ( x + h )^n - x^n } {h}
 \displaystyle = \lim_{h \to 0} { \frac {( {}_n C _0 x^n h^0 + {}_n C _1 x^{n - 1} h^1 + {}_n C _2 x^{n - 2} h^2 + \cdots + {}_n C _{n - 1} x^1 h^{n - 1} + {}_n C _n x^0 h^n ) - x^n } {h} }
 \displaystyle = \lim_{h \to 0} { \frac { \left\{ x^n + n x^{n - 1} h + { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 \cdot 1} } x^{ n - 2 } h^2 + \cdots + n x h^{ n - 1 } + h^n \right\} - x^n } {h} }
 \displaystyle = \lim_{h \to 0} { \left\{ n x^{n - 1} + { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } x^{ n - 2 } h + \cdots + n x h^{ n - 2 } + h^{ n - 1 } \right\} } = n x^{n - 1}

ここで n = 0の時、 f(x) = 1,  f'(x) = 0で成り立つ。
よって n \geqq 0を満たす整数で \displaystyle ( x^n )' = n x^{n - 1} が成り立つ。

次に自然数 mに対して \displaystyle g(x) = \frac {1} { x^m }  x微分可能な場合、 商の微分法の公式を用いて、

 \displaystyle g'(x) = \frac { - m x^{m - 1} } { x^{2 m} } = - m x^{ - m - 1 }

となる。

更に - m = n と置くと、 \displaystyle ( x^n )' = n x^{n - 1} となり、 これは f(x) = x^n xでの微分 n  0 の整数にも拡張できたことを意味する。

つまり、任意の整数 nに対して f(x) = x^n x微分可能な場合、  \displaystyle f'(x) = n x^{n - 1} が成り立つ。

合成関数の微分の公式の導出

2関数 \displaystyle y = f(u) ,  \displaystyle u = g(x)がある。 後式を前式に代入すると、 \displaystyle y = f(g(x)) となる。 これを f(x) g(x)の合成関数という。

ここで \displaystyle f(g(x))  x微分することを考える。

まず、 \displaystyle g(x + h) - g(x) = k,  \displaystyle u = g(x)と置くと、  h \rightarrow 0なら k \rightarrow 0。 また、 \displaystyle g(x + h) = u + kとなる。
 \displaystyle f(g(x))  x微分すると、

 \displaystyle \left\{ f(g(x))\right\}' = \lim_{h \to 0} \frac {f(g(x + h)) - f(g(x))}{h} = \lim_{h \to 0} { {\frac {f(g(x + h)) - f(g(x))}{g(x + h) - g(x)}} \cdot {\frac {g(x + h) - g(x)}{h}} }
 \displaystyle = { \lim_{k \to 0} { \frac {f(u + k) - f(u)} {k} } } \cdot { \lim_{h \to 0} { \frac {g(x + h) - g(x)} {h} } } = f'(u) g'(x) = f'(g(x)) g'(x)

 


 


LibreOffice 数式(Math) のソース:

 

alignl f ' ( x ) = { alignc lim from{ h toward 0 } { { f ( x + h ) - f ( x ) } over { h } } }
newline
alignl g ' ( x ) = { alignc lim from{ h toward 0 } { { g ( x + h ) - g ( x ) } over { h } } }

 

alignl lbrace f ( x ) g (x) rbrace ' = { alignc lim from{ h toward 0 } { { f ( x + h ) g ( x + h ) - f ( x ) g ( x ) } over { h } } }
newline
alignl phantom { y } = { alignc lim from{ h toward 0 } { { f ( x + h ) g ( x + h ) - f ( x + h ) g ( x ) + f ( x + h ) g ( x ) - f ( x ) g ( x ) } over { h } } }
newline
alignl phantom { y } = { alignc lim from { h toward 0 } left lbrace f ( x + h ) cdot { { g ( x + h ) - g ( x ) } over { h } } + { { f ( x + h ) - f ( x ) } over { h } } cdot g ( x ) right rbrace }
newline
alignl phantom { y } = f ( x ) g ' (x) + f ' ( x ) g (x)

 

left lbrace { f ( x ) } over { g ( x ) } right rbrace ' = { alignc lim from{ h toward 0 } { left lbrace { { f ( x + h ) } over { g ( x + h ) } - { f ( x ) } over { g ( x ) } } over { h } right rbrace } } = { alignc lim from{ h toward 0 } { left lbrace { { f ( x + h ) g ( x ) - f ( x ) g ( x + h ) } over { g ( x + h ) g ( x ) } } over { h } right rbrace } }
newline
alignl phantom { y } = { alignc lim from{ h toward 0 } { { f ( x + h ) g ( x ) - f ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ( x + h ) + f ( x ) g ( x ) } over { g ( x + h ) g ( x ) cdot h } } }
newline
alignl phantom { y } = { alignc lim from{ h toward 0 } { left lbrace { { { f ( x + h ) - f ( x ) } over { h } } cdot g ( x ) - f ( x ) cdot { { g ( x + h ) - g ( x ) } over { h } } } over { g ( x + h ) g ( x ) } right rbrace } }
newline
alignl phantom { y } = { alignc { f ' ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ' ( x ) } over { left lbrace g ( x ) right rbrace ^2 } }

 

left lbrace { 1 } over { g ( x ) } right rbrace ' = { alignc { - f ( x ) g ' ( x ) } over { left lbrace g ( x ) right rbrace ^2 } }