微分の公式 - CANADA'S WINDVIEW

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二つの関数(f(x)とg(x))の積と和の微分の公式とx^nの微分の公式、合成関数の微分の公式の導出です。

積の微分法の公式の導出

$f(x)$ , $g(x)$ が $x$ で微分可能とすると $f(x)$ , $g(x)$ の導関数はそれぞれ

$\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac {f( x + h ) - f(x) }{h}$
$\displaystyle g'(x) = \lim_{h \to 0} \frac {g( x + h ) - g(x) }{h}$

と定義されるので、 $f(x)$ と $g(x)$ の積の導関数は

$\displaystyle \{f(x)g(x)\}' = \lim_{h \to 0} \frac {f( x + h ) g( x + h ) - f(x) g(x) }{h}$
$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac {f( x + h ) g( x + h ) - f( x + h ) g(x) + f( x + h ) g(x) - f(x) g(x) }{h}$
$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \left\{ f( x + h ) \cdot { \frac {g( x + h ) - g(x)}{h} } + { \frac {f( x + h ) - f(x)}{h} } \cdot g(x) \right\}$
$\displaystyle = f(x) g'(x) + f'(x) g(x)$

商の微分法の公式の導出

$f(x)$ , $g(x)$ が $x$ で微分可能で、かつ $g(x) \neq 0$ の時、 $f(x)$ を $g(x)$ で割った商の導関数は

$\displaystyle \left\{ \frac {f(x)}{g(x)} \right\}' = \lim_{h \to 0} \left\{ \frac { \frac {f( x + h )}{g( x + h )} - \frac {f(x)}{g(x)} }{h} \right\} = \lim_{h \to 0} \left\{ \frac { \frac {f( x + h ) g(x) - f(x) g( x + h )} {g( x + h ) g(x)} }{h} \right\}$
$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \left\{ \frac {f( x + h ) g(x) - f(x) g( x ) - f(x) g( x + h ) + f(x) g( x ) } {g( x + h ) g(x) \cdot h } \right\}$
$\displaystyle = \lim_{h \to 0} \left\{ \frac { { \frac {f( x + h ) - f(x) }{h} } \cdot g(x) - f(x) \cdot { \frac {g( x + h ) - g( x )}{ h} } } {g( x + h ) g(x) } \right\} = \frac { f'(x) g(x) - f(x) g'(x) }{ \left\{ g(x) \right\}^2 }$

特に $f(x) = 1$ の時、 $f'(x) = 0$ なので、

$\displaystyle \left\{ \frac {1}{ g(x) } \right\}' = \frac { - g'(x) }{ \left\{ g(x) \right\}^2 }$

更に、 $f(x) = 1$ かつ $g(x) = x$ の時、 $f'(x) = 0$ かつ $g'(x) = 1$ なので、

$\displaystyle \left\{ \frac {1}{ x } \right\}' = - \frac { 1 }{ x^2 }$

$x^n$ の微分の公式の導出

自然数 $n$ に対して、 $f(x) = x^n$ が $x$ で微分可能な場合、

$\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac { ( x + h )^n - x^n } {h}$
$\displaystyle = \lim_{h \to 0} { \frac {( {}_n C _0 x^n h^0 + {}_n C _1 x^{n - 1} h^1 + {}_n C _2 x^{n - 2} h^2 + \cdots + {}_n C _{n - 1} x^1 h^{n - 1} + {}_n C _n x^0 h^n ) - x^n } {h} }$
$\displaystyle = \lim_{h \to 0} { \frac { \left\{ x^n + n x^{n - 1} h + { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 \cdot 1} } x^{ n - 2 } h^2 + \cdots + n x h^{ n - 1 } + h^n \right\} - x^n } {h} }$
$\displaystyle = \lim_{h \to 0} { \left\{ n x^{n - 1} + { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } x^{ n - 2 } h + \cdots + n x h^{ n - 2 } + h^{ n - 1 } \right\} } = n x^{n - 1}$

ここで $n = 0$ の時、 $f(x) = 1$ , $f'(x) = 0$ で成り立つ。
よって $n \geqq 0$ を満たす整数で $\displaystyle ( x^n )' = n x^{n - 1}$ が成り立つ。

次に自然数 $m$ に対して $\displaystyle g(x) = \frac {1} { x^m }$ が $x$ で微分可能な場合、商の微分法の公式を用いて、

$\displaystyle g'(x) = \frac { - m x^{m - 1} } { x^{2 m} } = - m x^{ - m - 1 }$

となる。

更に $- m = n$ と置くと、 $\displaystyle ( x^n )' = n x^{n - 1}$ となり、これは $f(x) = x^n$ の $x$ での微分が $n$ ＜ $0$ の整数にも拡張できたことを意味する。

つまり、任意の整数 $n$ に対して $f(x) = x^n$ が $x$ で微分可能な場合、 $\displaystyle f'(x) = n x^{n - 1}$ が成り立つ。

合成関数の微分の公式の導出

2関数 $\displaystyle y = f(u)$ , $\displaystyle u = g(x)$ がある。後式を前式に代入すると、 $\displaystyle y = f(g(x))$ となる。これを $f(x)$ と $g(x)$ の合成関数という。

ここで $\displaystyle f(g(x))$ を $x$ で微分することを考える。

まず、 $\displaystyle g(x + h) - g(x) = k$ , $\displaystyle u = g(x)$ と置くと、 $h \rightarrow 0$ なら $k \rightarrow 0$ 。また、 $\displaystyle g(x + h) = u + k$ となる。
$\displaystyle f(g(x))$ を $x$ で微分すると、

$\displaystyle \left\{ f(g(x))\right\}' = \lim_{h \to 0} \frac {f(g(x + h)) - f(g(x))}{h} = \lim_{h \to 0} { {\frac {f(g(x + h)) - f(g(x))}{g(x + h) - g(x)}} \cdot {\frac {g(x + h) - g(x)}{h}} }$
$\displaystyle = { \lim_{k \to 0} { \frac {f(u + k) - f(u)} {k} } } \cdot { \lim_{h \to 0} { \frac {g(x + h) - g(x)} {h} } } = f'(u) g'(x) = f'(g(x)) g'(x)$

LibreOffice 数式(Math) のソース：

alignl f ' ( x ) = { alignc lim from{ h toward 0 } { { f ( x + h ) - f ( x ) } over { h } } }
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alignl g ' ( x ) = { alignc lim from{ h toward 0 } { { g ( x + h ) - g ( x ) } over { h } } }

alignl lbrace f ( x ) g (x) rbrace ' = { alignc lim from{ h toward 0 } { { f ( x + h ) g ( x + h ) - f ( x ) g ( x ) } over { h } } }
newline
alignl phantom { y } = { alignc lim from{ h toward 0 } { { f ( x + h ) g ( x + h ) - f ( x + h ) g ( x ) + f ( x + h ) g ( x ) - f ( x ) g ( x ) } over { h } } }
newline
alignl phantom { y } = { alignc lim from { h toward 0 } left lbrace f ( x + h ) cdot { { g ( x + h ) - g ( x ) } over { h } } + { { f ( x + h ) - f ( x ) } over { h } } cdot g ( x ) right rbrace }
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alignl phantom { y } = f ( x ) g ' (x) + f ' ( x ) g (x)

left lbrace { f ( x ) } over { g ( x ) } right rbrace ' = { alignc lim from{ h toward 0 } { left lbrace { { f ( x + h ) } over { g ( x + h ) } - { f ( x ) } over { g ( x ) } } over { h } right rbrace } } = { alignc lim from{ h toward 0 } { left lbrace { { f ( x + h ) g ( x ) - f ( x ) g ( x + h ) } over { g ( x + h ) g ( x ) } } over { h } right rbrace } }
newline
alignl phantom { y } = { alignc lim from{ h toward 0 } { { f ( x + h ) g ( x ) - f ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ( x + h ) + f ( x ) g ( x ) } over { g ( x + h ) g ( x ) cdot h } } }
newline
alignl phantom { y } = { alignc lim from{ h toward 0 } { left lbrace { { { f ( x + h ) - f ( x ) } over { h } } cdot g ( x ) - f ( x ) cdot { { g ( x + h ) - g ( x ) } over { h } } } over { g ( x + h ) g ( x ) } right rbrace } }
newline
alignl phantom { y } = { alignc { f ' ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ' ( x ) } over { left lbrace g ( x ) right rbrace ^2 } }

left lbrace { 1 } over { g ( x ) } right rbrace ' = { alignc { - f ( x ) g ' ( x ) } over { left lbrace g ( x ) right rbrace ^2 } }