足し合わせたものの2乗＝それぞれの3乗の和

ニュートン2020年5月号の数学の特集で興味深い関係式が載っていました。

$\displaystyle ( 1 + 2 + 3 + \cdots + n ) ^ 2 = 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 + \cdots + n ^ 3 \tag{1}$

小難しく書き直すと…

$\displaystyle \left( \sum_{k=1}^{n} {k} \right) ^ 2 = \sum_{k=1}^{n} { k ^ 3 } \tag{2}$

ここで、

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} {k} = \frac{n(n+1)}{2}$

であり、更に三乗和の公式から、

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k ^ 3 } = { \frac{1}{4} } n ^2 ( n + 1 ) ^ 2 = \left\{ \frac{n(n+1)}{2} \right\} ^ 2$

なので、実は上式(1)、(2)が成り立つことが簡単に分かるんですね。

ちなみに、新型コロナウイルスの影響と雨天ということで、皆さん行くところがないので、書店は凄く混んでいました。この状況で長いレジ待ちの列に並ぶのは嫌だなと思い、書籍の購入は断念しました。

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