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{f(x)}^n f'(x) 型の積分の応用 - f(x)が三角関数の積分

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f(x)が三角関数の積分

$\displaystyle \left\{ f (x) \right\} ^ {n} f ' ( x )$ 型の積分で、 $f ( x )$ が三角関数の積分です。

$\displaystyle \int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx = - \int \frac{\left( \cos x \right) ' }{\cos x} dx = - \log | \cos x | + C$

$\displaystyle \int \cot x dx = \int \frac {1}{\tan x} dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx = \int \frac{\left( \sin x \right) ' }{\sin x} dx = \log | \sin x | + C$

$\displaystyle \int \sin x \cos x dx = \int \left( \sin x \right) ^ {1} \left( \sin x \right) ' dx = \frac {\sin ^ {2} x}{2} + C$

$\displaystyle \int \sin ^ {2} x \cos x dx = \int \left( \sin x \right) ^ {2} \left( \sin x \right) ' dx = \frac {\sin ^ {3} x}{3} + C$

一般化すると次のように表せる。

$\displaystyle \int { \sin^{n} x \cos x } dx = \int { ( \sin x )^{n} (\sin x )' } dx = \frac{ 1 }{ n + 1 } \sin^{n + 1} x + C$ ( $n$ は自然数)

$\displaystyle \int { \sin x \cos^{n} x } dx = \int { (\cos x )' ( \cos x )^{n} } dx = \frac{ 1 }{ n + 1 } \cos^{n + 1} x + C$ ( $n$ は自然数)

$\displaystyle \int { \sin^{2} x \cos^{3} x } dx = \int { \sin^{2} x \left( 1 - \sin^{2} x \right) \cos x } dx = \int { \left( \sin^{2} x - \sin^{4} x \right) (\sin x )' } dx \\ \displaystyle = - \int { \sin^{4} x (\sin x )' } dx + \int { \sin^{2} x (\sin x )' } dx = - \frac{1}{5} \sin^{5} x + \frac{1}{3} \sin^{3} x + C$