2021-12-28

累乗の和 - 三乗和の公式(2)

数学・幾何学

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累乗の和 - 三乗和の公式(2)

三乗和の公式の導出です。

$k^2 ( k + 1 )^2 - ( k - 1 )^2 k^2 \tag{1}$

を考えます。

(1)をそのまま展開すると、

$k^2 ( k + 1 )^2 - ( k - 1 )^2 k^2 = k^2 \left\{ ( k + 1 )^2 - ( k - 1 )^2 \right\} \\ \displaystyle = k^2 \left\{ k^2 + 2 k + 1 - ( k^2 - 2 k + 1 ) \right\} = k^2 \cdot 4 k$
$= 4 k^3 \tag{2}$

(1)の和を考えると、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { \left\{ k^2 ( k + 1 )^2 - ( k - 1 )^2 k^2 \right\}} = \sum_{k=1}^{n} { k^2 ( k + 1 )^2 } - \sum_{k=1}^{n} { ( k - 1 )^2 k^2 } \\ \displaystyle = 1^2 \cdot 2^2 + 2^2 \cdot 3^2 + \cdots + ( n - 1 )^2 n^2 + n^2 ( n + 1 )^2 - \left\{ 0^2 \cdot 1^2 + 1^2 \cdot 2^2 + \cdots + ( n - 2 )^2 ( n - 1 )^2 + ( n - 1 )^2 n^2 \right\}$
$= n^2 ( n + 1 )^2 \tag{3}$

これと、(2)の和が等しいので、
$\displaystyle n^2 ( n + 1 )^2 = \sum_{k=1}^{n} { \left( 4 k^3 \right) } = 4 \sum_{k=1}^{n} { k^3 }$
$\displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} { k^3 } = \frac{ 1 }{ 4 } n^2 ( n + 1 )^2 = \left\{ \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \right\}^2 \tag{4}$

2021-12-27

累乗の和 - 九乗和の公式

数学・幾何学

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累乗の和 - 九乗和の公式

九乗和の公式の導出です。

$k^5 ( k + 1 )^5 - ( k - 1 )^5 k^5 \tag{1}$

を考えます。

(1)をそのまま展開すると、

$k^5 ( k + 1 )^5 - ( k - 1 )^5 k^5 = k^5 \left\{ ( k + 1 )^5 - ( k - 1 )^5 \right\} \\ \displaystyle = k^5 \left\{ k^5 + 5 k^4 + 10 k^3 + 10 k^2 + 5 k + 1 - \left( k^5 - 5 k^4 + 10 k^3 - 10 k^2 - 5 k + 1 \right) \right\} \\ \displaystyle = k^5 \left( 10 k^4 + 20 k^2 + 2 \right)$
$= 2 k^5 \left( 5 k^4 + 10 k^2 + 1 \right) \tag{2}$

(1)の和を考えると、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { \left\{ k^5 ( k + 1 )^5 - ( k - 1 )^5 k^5 \right\}} = \sum_{k=1}^{n} { k^5 ( k + 1 )^5 } - \sum_{k=1}^{n} { ( k - 1 )^5 k^5 } \\ \displaystyle = 1^5 \cdot 2^5 + 2^5 \cdot 3^5 + \cdots + ( n - 1 )^5 n^5 + n^5 ( n + 1 )^5 - \left\{ 0^5 \cdot 1^5 + 1^5 \cdot 2^5 + \cdots + ( n - 2 )^5 ( n - 1 )^5 + ( n - 1 )^5 n^5 \right\}$
$= n^5 ( n + 1 )^5 \tag{3}$

これと、(2)の和が等しいので、

$\displaystyle n^5 ( n + 1 )^5 = \sum_{k=1}^{n} { \left\{ 2 k^5 \left( 5 k^4 + 10 k^2 + 1 \right) \right\} } = \sum_{k=1}^{n} { 10 k^9 + 20 k^7 + 2 k^5 } = 10 \sum_{k=1}^{n} { k^9 } + 20 \sum_{k=1}^{n} { k^7 } + 2 \sum_{k=1}^{n} { k^5 }$
$\displaystyle \Leftrightarrow 10 \sum_{k=1}^{n} { k^9 } = n^5 ( n + 1 )^5 - 20 \sum_{k=1}^{n} { k^7 } - 2 \sum_{k=1}^{n} { k^5 } \tag{4}$

これと七乗和、五乗和の公式より、

$\displaystyle 10 \sum_{k=1}^{n} { k^9 } = n^5 ( n + 1 )^5 - 20 \sum_{k=1}^{n} { k^7 } - 2 \sum_{k=1}^{n} { k^5 } \\ \displaystyle = n^5 ( n + 1 )^5 - 20 \cdot \left\{ \frac{1}{24} n^2 ( n + 1 )^2 \left( 3 n^4 + 6 n^3 - n ^ 2 - 4 n + 2 \right) \right\} - 2 \cdot \left\{ \frac{1}{12} { n ^ 2 } { ( n + 1 ) ^ 2 } \left( 2 n ^ 2 + 2 n - 1 \right) \right\} \\ \displaystyle = n^5 ( n + 1 )^5 - \frac{ 5 }{ 6 } n^2 ( n + 1 )^2 \left( 3 n^4 + 6 n^3 - n ^ 2 - 4 n + 2 \right) - \frac{ 1 }{ 6 } { n ^ 2 } { ( n + 1 ) ^ 2 } \left( 2 n ^ 2 + 2 n - 1 \right) \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 6 } n^2 ( n + 1 )^2 \left\{ 6 n^3 ( n + 1 )^3 - 5 \left( 3 n^4 + 6 n^3 - n ^ 2 - 4 n + 2 \right) - \left( 2 n ^ 2 + 2 n - 1 \right) \right\} \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 6 } n^2 ( n + 1 )^2 \left( 6 n^6 + 18 n^5 + 18 n^4 + 6 n^3 - 15 n^4 - 30 n^3 + 5 n^2 + 20 n - 10 - 2 n^2 - 2 n + 1 \right) \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 6 } n^2 ( n + 1 )^2 \left( 6 n^6 + 18 n^5 + 3 n^4 - 24 n^3 + 3 n^2 + 18 n - 9 \right) \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 2 } n^2 ( n + 1 )^2 \left( 2 n^6 + 6 n^5 + n^4 - 8n^3 + n^2 + 6 n - 3 \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} { k^9 } = \frac{ 1 }{ 20 } n^2 ( n + 1 )^2 \left( 2 n^6 + 6 n^5 + n^4 - 8 n^3 + n^2 + 6 n - 3 \right) \tag{5}$

2021-12-26

累乗の和 - 五乗和の公式(3)

数学・幾何学

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累乗の和 - 五乗和の公式(3)

五乗和の公式の導出です。

$k^3 ( k + 1 )^3 - ( k - 1 )^3 k^3 \tag{1}$

を考えます。

(1)をそのまま展開すると、

$k^3 ( k + 1 )^3 - ( k - 1 )^3 k^3 = k^3 \left\{ ( k + 1 )^3 - ( k - 1 )^3 \right\} \\ \displaystyle = k^3 \left\{ k^3 + 3 k^2 + 3 k + 1 - ( k^3 - 3 k^2 + 3 k - 1 ) \right\} = k^3 \left( 6 k^2 + 2 \right)$

$= 2 k^3 \left( 3 k^2 + 1 \right) \tag{2}$

(1)の和を考えると、

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { \left\{ k^3 ( k + 1 )^3 - ( k - 1 )^3 k^3 \right\}} = \sum_{k=1}^{n} { k^3 ( k + 1 )^3 } - \sum_{k=1}^{n} { ( k - 1 )^3 k^3 } \\ \displaystyle = 1^3 \cdot 2^3 + 2^3 \cdot 3^3 + \cdots + ( n - 1 )^3 n^3 + n^3 ( n + 1 )^3 - \left\{ 0^3 \cdot 1^3 + 1^3 \cdot 2^3 + \cdots + ( n - 2 )^3 ( n - 1 )^3 + ( n - 1 )^3 n^3 \right\}$
$= n^3 ( n + 1 )^3 \tag{3}$

これと、(2)の和が等しいので、

$\displaystyle n^3 ( n + 1 )^3 = \sum_{k=1}^{n} { \left\{ 2 k^3 \left( 3 k^2 + 1 \right) \right\} } = \sum_{k=1}^{n} { \left( 6 k^5 + 2 k^3 \right) } = 6 \sum_{k=1}^{n} { k^5 } + 2 \sum_{k=1}^{n} { k^3 }$
$\displaystyle \Leftrightarrow 6 \sum_{k=1}^{n} { k^5 } = n^3 ( n + 1 )^3 - 2 \sum_{k=1}^{n} { k^3 } \tag{4}$

これと三乗和の公式より、

$\displaystyle 6 \sum_{k=1}^{n} { k^5 } = n^3 ( n + 1 )^3 - 2 \sum_{k=1}^{n} { k^3 } = n^3 ( n + 1 )^3 - 2 \left\{ \frac{ 1 }{ 4 } n^2 ( n + 1 )^2 \right\} = n^3 ( n + 1 )^3 - \frac{ 1 }{ 2 } n^2 ( n + 1 )^2 \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 2 } n^2 ( n + 1 )^2 \left\{ 2 n ( n + 1 ) - 1 \right\} = \frac{ 1 }{ 2 } n^2 ( n + 1 )^2 \left( 2 n^2 + 2 n - 1 \right)$
$\displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} { k^5 } = \frac{ 1 }{ 12 } n^2 ( n + 1 )^2 \left( 2 n^2 + 2 n - 1 \right) \tag{5}$

2021-12-25

累乗の和 - 五乗和の公式(2)

数学・幾何学

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累乗の和 - 五乗和の公式(2)

五乗和の公式の導出です。

数列 $\{ a_n \}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、
$\displaystyle S_n = \left\{ { \frac{1}{6} } n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \right\}^2$
で表される時の $\{ a_n \}$ を考えます。

まず $n = 1$ の時、

$\displaystyle a_1 = S_1 = \left\{ \frac{ 1 }{ 6 } \cdot 1 \cdot ( 1 + 1 ) ( 2 \cdot 1 + 1 ) \right\}^2 = 1 \tag{1}$

次に $n \geqq 2$ の時、

$\displaystyle \{ a_n \} = S_n - S_{ n - 1 } = \left\{ \frac{1}{6} n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \right\}^2 - \left[ \frac{1}{6} ( n - 1 ) \left\{ ( n - 1 ) + 1 \right\} \left\{ 2 ( n - 1 ) + 1 \right\} \right]^2 \\ \displaystyle = \left\{ \frac{1}{6} n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \right\}^2 - \left\{ \frac{1}{6} ( n - 1 ) n ( 2 n - 1 ) \right\}^2 \\ \displaystyle = \frac{1}{36} n^2 \left\{ ( n + 1 )^2 ( 2 n + 1 )^2 - ( n - 1 )^2 ( 2 n - 1 )^2 \right\} \\ \displaystyle = \frac{1}{36} n^2 \left[ \left\{ ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \right\}^2 - \left\{ ( n - 1 ) ( 2 n - 1 ) \right\}^2 \right] \\ \displaystyle = \frac{1}{36} n^2 \left\{ ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) + ( n - 1 ) ( 2 n - 1 ) \right\} \left\{ ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) - ( n - 1 ) ( 2 n - 1 ) \right\} \\ \displaystyle = \frac{1}{36} n^2 \left( 2 n^2 + 3 n + 1 + 2 n^2 - 3 n + 1 \right) \left\{ 2 n^2 + 3 n + 1 - \left( 2 n^2 - 3 n + 1 \right) \right\} \\ \displaystyle = \frac{1}{36} n^2 \left( 4 n^2 + 2 \right) \cdot 6 n$
$\displaystyle = \frac{1}{3} n^3 \left( 2 n^2 + 1 \right) \tag{2}$

これに $n = 1$ を代入すると、

$\displaystyle \{ a_1 \} = \frac{ 1 }{ 3 } \cdot 1^3 \cdot \left( 2 \cdot 1^2 + 1 \right) = 1$

となり、(1)を満たす。よって、(2)の $\{ a_n \}$ は、 $n \geqq 1$ で成立する。

ここで、

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { a_k } = S_n$

より、

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { \frac{1}{3} k^3 \left( 2 k^2 + 1 \right) } = \left\{ \frac{1}{6} n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \right\}^2 \\ \displaystyle \Leftrightarrow \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} { \left( 2 k^5 + k^3 \right) } = \frac{1}{36} n^2 ( n + 1 )^2 ( 2 n + 1 )^2 \\ \displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} { \left( 2 k^5 + k^3 \right) } = \frac{1}{12} n^2 ( n + 1 )^2 ( 2 n + 1 )^2 \\ \displaystyle \Leftrightarrow 2 \sum_{k=1}^{n} { k^5 } + \sum_{k=1}^{n} { k^3 } = \frac{1}{12} n^2 ( n + 1 )^2 ( 2 n + 1 )^2$
$\displaystyle \Leftrightarrow 2 \sum_{k=1}^{n} { k^5 } = \frac{1}{12} n^2 ( n + 1 )^2 ( 2 n + 1 )^2 - \sum_{k=1}^{n} { k^3 } \tag{3}$

(3)と三乗和の公式から

$\displaystyle 2 \sum_{k=1}^{n} { k^5 } = \frac{1}{12} n^2 ( n + 1 )^2 ( 2 n + 1 )^2 - \sum_{k=1}^{n} { k^3 } = \frac{1}{12} n^2 ( n + 1 )^2 ( 2 n + 1 )^2 - \frac{1}{4} n^2 ( n + 1 )^2 \\ \displaystyle = \frac{1}{12} n^2 ( n + 1 )^2 \left\{ ( 2 n + 1 )^2 - 3 \right\} = \frac{1}{12} n^2 ( n + 1 )^2 \left( 4 n^2 + 4 n + 1 - 3 \right) \\ \displaystyle = \frac{1}{12} n^2 ( n + 1 )^2 \left( 4 n^2 + 4 n - 2 \right) = \frac{2}{12} n^2 ( n + 1 )^2 \left( 2 n^2 + 2 n - 1 \right)$
$\displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} { k^5 } = \frac{1}{12} n^2 ( n + 1 )^2 \left( 2 n^2 + 2 n - 1 \right) \tag{4}$

2021-12-24

累乗の和 - 七乗和の公式

数学・幾何学

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累乗の和 - 七乗和の公式

七乗和の公式の導出です。

数列 $\{ a_n \}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、

$\displaystyle S_n = \left\{ \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \right\}^4$

で表される時の $\{ a_n \}$ を考えます。

まず $n = 1$ の時、

$\displaystyle a_1 = S_1 = \left\{ \frac{ 1 }{ 2 } \cdot 1 \cdot ( 1 + 1 ) \right\}^4 = 1 \tag{1}$

次に $n \geqq 2$ の時、

$\displaystyle \{ a_n \} = S_n - S_{ n - 1 } = \left\{ \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \right\}^4 - \left\{ \frac{ 1 }{ 2 } ( n - 1 ) n \right\}^4 = \frac{ 1 }{ 16 } n^4 \left\{ ( n + 1 )^4 - ( n + 1 )^4 \right\} \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ 16 } n^4 \left\{ n^4 + 4 n^3 + 6 n^2 + 4 n + 1 - \left( n^4 - 4 n^3 + 6 n^2 - 4 n + 1 \right) \right\} = \frac{ 1 }{ 16 } n^4 \left( 8 n^3 + 8 n \right)$

$\displaystyle = \frac{ 1 }{ 2 } n^5 \left( n^2 + 1 \right) \tag{2}$

これに $n = 1$ を代入すると、

$\displaystyle \{ a_1 \} = \frac{ 1 }{ 2 } \cdot 1^5 \cdot \left( 1^2 + 1 \right) = 1$

となり、(1)を満たす。よって、(2)の $\{ a_n \}$ は、 $n \geqq 1$ で成立する。

ここで、

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { a_k } = S_n$

より、

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { \frac{ 1 }{ 2 } k^5 \left( k^2 + 1 \right) } = \left\{ \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) \right\}^4 \\ \displaystyle \Leftrightarrow \frac{ 1 }{ 2 } \left( \sum_{k=1}^{n} {k^7} + \sum_{k=1}^{n} {k^5} \right) = \frac{ 1 }{ 16 } n^4 ( n + 1 )^4 \\ \displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} {k^7} + \sum_{k=1}^{n} {k^5} = \frac{ 1 }{ 8 } n^4 ( n + 1 )^4$
$\displaystyle \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} {k^7} = \frac{ 1 }{ 8 } n^4 ( n + 1 )^4 - \sum_{k=1}^{n} {k^5} \tag{3}$

(3)と五乗和の公式から
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} {k^7} = \frac{ 1 }{ 8 } n^4 ( n + 1 )^4 - \sum_{k=1}^{n} {k^5} = \frac{ 1 }{ 8 } n^4 ( n + 1 )^4 - \frac{1}{12} { n ^ 2 } { ( n + 1 ) ^ 2 } \left( 2 n ^ 2 + 2 n - 1 \right) \\ \displaystyle = \frac{1}{24} n^2 ( n + 1 )^2 \left\{ 3 n^2 ( n + 1 )^2 - 2 \left( 2 n ^ 2 + 2 n - 1 \right) \right\} \\ \displaystyle = \frac{1}{24} n^2 ( n + 1 )^2 \left\{ 3 n^2 \left( n^2 + 2 n + 1 \right) - 4 n ^ 2 - 4 n + 2 \right\} \\ \displaystyle = \frac{1}{24} n^2 ( n + 1 )^2 \left( 3 n^4 + 6 n^3 + 3 n^2 - 4 n ^ 2 - 4 n + 2 \right) \\ \displaystyle = \frac{1}{24} n^2 ( n + 1 )^2 \left( 3 n^4 + 6 n^3 - n ^ 2 - 4 n + 2 \right)$
$\displaystyle \therefore \sum_{k=1}^{n} {k^7} = \frac{1}{24} n^2 ( n + 1 )^2 \left( 3 n^4 + 6 n^3 - n ^ 2 - 4 n + 2 \right) \tag{4}$

2021-12-20

落ち葉の散策路

田園

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f:id:windview_canada:20220102230649j:plain — 落ち葉の散策路 20211220_01

f:id:windview_canada:20220102230754j:plain — 落ち葉の散策路 20211220_02

f:id:windview_canada:20220102230934j:plain — 落ち葉の散策路 20211220_03

f:id:windview_canada:20220102231043j:plain — 落ち葉の散策路 20211220_04

f:id:windview_canada:20220102231203j:plain — 落ち葉の散策路 20211220_05

f:id:windview_canada:20220102231220j:plain — 落ち葉の散策路 20211220_06

20211220月晴れ 11⇔4 西北西4

東三河ふるさと公園の御津側(南側)駐車場から展望ツツジ園の間の散策路(七曲りの路)です。落ち葉は年中それなりにありますが、この時期どっと増えます。散策路を埋め尽くす程の広葉樹の落ち葉の絨毯は、なかなかに風情がありますね。

蒲郡市アメダス
05:00 3.8℃
06:00 2.5℃
07:00 2.3℃
08:00 4.2℃
09:00 6.3℃
10:00 8.1℃
11:00 9.0℃
12:00 10.2℃
13:00 10.7℃
14:00 11.2℃
15:00 11.0℃
16:00 10.3℃
17:00 7.7℃
18:00 8.0℃
19:00 7.4℃
最高気温 11.6℃、最低気温 2.0℃

🔥ウォーキング＋ランニングの距離	6.6km
🔥歩数	9,155歩
🔥登った階数	107階

2021-12-19

点と直線の距離

数学・幾何学

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点と直線の距離

$xy$ 平面上の直線(1) $a x + b y + c = 0$ と点 $P ( x_0 , y_0 )$ の距離 $d$ を求めます。(但し、 $a^2 + b^2 \neq 0$ )

f:id:windview_canada:20211219224931p:plain — 点と直線の距離

直線(1)の法線ベクトルの一つは $\overrightarrow{n} = ( a , b )$ なので、

直線(1)に垂直で点 $P$ を通る直線(2) の方程式は、

$\displaystyle y - y_0 = \frac{b}{a} ( x - x_0 ) \Leftrightarrow b ( x - x_0 ) = a ( y - y_0 ) \Leftrightarrow b x - a y - ( b x_0 - a y_0 ) = 0$

となります。

直線(1)と直線(2)の連立方程式を解くと( $(1) \times a + (2) \times b$ と $(1) \times b + (2) \times ( - a )$ で解けます)、直線(1)と直線(2)の交点 $Q$ の座標は、

$\displaystyle Q \left( \frac{b( b x_0 - a y_0 ) - ca}{a^2 + b^2} , \frac{- a ( b x_0 - a y_0 ) - bc }{a^2 + b^2} \right)$

と求まります。

これより、

$\displaystyle d = PQ = \sqrt{ \left\{ \frac{b( b x_0 - a y_0 ) - ca}{a^2 + b^2} - x_0 \right\}^2 + \left\{ \frac{- a ( b x_0 - a y_0 ) - bc }{a^2 + b^2} - y_0 \right\}^2 } \\ \displaystyle = \sqrt{ \left\{ \frac{ b( b x_0 - a y_0 ) - ca - ( a^2 + b^2 ) x_0 }{ a^2 + b^2 } \right\}^2 + \left\{ \frac{ - a ( b x_0 - a y_0 ) - bc - ( a^2 + b^2 ) y_0 }{ a^2 + b^2 } \right\}^2 } \\ \displaystyle = \sqrt{ \left\{ \frac{ -a^2 x_0 - a b y_0 - c a }{ a^2 + b^2 } \right\}^2 + \left\{ \frac{ - a b x_0 - b^2 y_0 - bc }{ a^2 + b^2 } \right\}^2 } \\ \displaystyle = \sqrt{ \left\{ \frac{ -a ( x_0 + b y_0 + c ) }{ a^2 + b^2 } \right\}^2 + \left\{ \frac{ - b ( a x_0 + b y_0 + c ) }{ a^2 + b^2 } \right\}^2 } = \sqrt{ \frac{ \left( a^2 + b^2 \right) \left( a x_0 + b y_0 + c \right)^2 }{ \left( a^2 + b^2 \right)^2 } } \\ \displaystyle = \sqrt{ \frac{ \left( a x_0 + b y_0 + c \right)^2 }{ a^2 + b^2 } } = \frac{ | a x_0 + b y_0 + c | }{ \sqrt{ a^2 + b^2 } }$

＜関連＞
式の展開、因数分解

CANADA'S WINDVIEW

趣味の写真を投稿していきます。昆虫好きな長男と一緒に昆虫を追いかけています。最初の年はセミやカマキリ、次の年はカブトムシ、トンボ、そして今年は…

累乗の和 - 三乗和の公式(2)

累乗の和 - 三乗和の公式(2)

累乗の和 - 九乗和の公式

累乗の和 - 九乗和の公式

累乗の和 - 五乗和の公式(3)

累乗の和 - 五乗和の公式(3)

累乗の和 - 五乗和の公式(2)

累乗の和 - 五乗和の公式(2)

累乗の和 - 七乗和の公式

累乗の和 - 七乗和の公式

落ち葉の散策路

20211220月晴れ 11⇔4 西北西4

点と直線の距離

点と直線の距離

累乗の和 - 三乗和の公式(2)

累乗の和 - 九乗和の公式

累乗の和 - 五乗和の公式(3)

累乗の和 - 五乗和の公式(2)

累乗の和 - 七乗和の公式

20211220月 晴れ 11⇔4 西北西4

点と直線の距離

20211220月晴れ 11⇔4 西北西4