CANADA'S WINDVIEW

趣味の写真を投稿していきます。昆虫好きな長男と一緒に昆虫を追いかけています。最初の年はセミやカマキリ、次の年はカブトムシ、トンボ、そして今年は…

三角形の面積のベクトル表示

数学・幾何学

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三角形の面積のベクトル表示

\angle{BAC} = \alpha ( 0＜ \alpha＜ \pi) とすると、三角形 ABC の面積 S は次のように表せます。

 

\displaystyle S = \frac{1}{2} | \overrightarrow{AB} | | \overrightarrow{AC} | \sin \alpha = \frac{1}{2} | \overrightarrow{AB} | | \overrightarrow{AC} | \sqrt{ 1 - \cos^2 \alpha } \\ \displaystyle = \frac{1}{2} | \overrightarrow{AB} | | \overrightarrow{AC} | \sqrt{ 1 - \left( \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{ | \overrightarrow{AB} | | \overrightarrow{AC} | } \right)^2 }  = \frac{1}{2} | \overrightarrow{AB} | | \overrightarrow{AC} | \sqrt{ \frac{ | \overrightarrow{AB} |^2 | \overrightarrow{AC} |^2 - \left( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \right)^2 }{ | \overrightarrow{AB} |^2 | \overrightarrow{AC} |^2 } } \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \sqrt{ | \overrightarrow{AB} |^2 | \overrightarrow{AC} |^2 - \left( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \right)^2 }

 

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三角形の面積のベクトル表示

 

2次元ベクトル(平面ベクトル)での成分表示

更に各ベクトルの成分を、 \overrightarrow{AB} = ( x_1 , x_2 ) ， \overrightarrow{AC} = ( y_1 , y_2 ) と置くと、面積 S は次のように表せます。

 

\displaystyle S = \frac{1}{2} \sqrt{ | \overrightarrow{AB} |^2 | \overrightarrow{AC} |^2 - \left( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \right)^2 } = \frac{1}{2} \sqrt{ \left( \sqrt{ x_1^2 + x_2^2 } \right)^2 \left( \sqrt{ y_1^2 + y_2^2 } \right)^2 - \left( x_1 y_1 + x_2 y_2 \right)^2 } \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \sqrt{ \left( x_1^2 + x_2^2 \right) \left( y_1^2 + y_2^2 \right) - \left\{ ( x_1 y_1 )^2 + 2 ( x_1 y_1 ) ( x_2 y_2 ) + ( x_2 y_2 )^2 \right\} } \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \sqrt{ x_1^2 y_1^2 + x_2^2 y_1^2 + x_1^2 y_2^2 + x_2^2 y_2^2 - x_1^2 y_1^2 - 2 x_1 x_2 y_1 y_2 - x_2^2 y_2^2 } = \frac{1}{2} \sqrt{ x_1^2 y_2^2 - 2 x_1 x_2 y_1 y_2 + ( x_2 y_1 )^2 } \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \sqrt{ ( x_1 y_2 )^2 - 2 ( x_1 y_2 ) ( x_2 y_1 ) + ( x_2 y_1 )^2 } = \frac{1}{2} \sqrt{ ( x_1 y_2 - x_2 y_1 )^2 } = \frac{1}{2} | x_1 y_2 - x_2 y_1 |

 

3次元ベクトル(空間ベクトル)での成分表示

\overrightarrow{AB} ， \overrightarrow{AC}を3次元ベクトル(空間ベクトル)とし、 各ベクトルの成分を、 \overrightarrow{AB} = ( B_x , B_y, B_z ) ， \overrightarrow{AC} = ( C_x , C_y, C_z ) と置くと、面積 S は次のように表せます。

 

\displaystyle S = \frac{1}{2} \sqrt{ ( B_x C_y - B_y C_x )^2 + ( B_y C_z - B_z C_y )^2 + ( B_z C_x - B_x C_z )^2 }

 

 

門松作り

田園

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門松作り 20211217_01

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門松作り 20211217_02

20211217金 雨後晴れ一時雨 14⇔10 西5

東三河ふるさと公園の南側(御津側)駐車場の管理棟前で門松作りが行われていました。

門松と言えば、いつもは立派な完成品しか見る機会がなかったですが、今回初めて制作の様子を見ることができました。現場でああでもない、こうでもないと試行錯誤されながら少しずつ出来上がっていく様子が窺がえました。

折角なので、お願いして写真や動画を撮らせて頂きました。

 

蒲郡市アメダス
06:00 10.4℃ 3.5mm
07:00 8.9℃ 1.5mm 
08:00 10.0℃ 
09:00 9.4℃
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22:00 2.6℃
23:00 2.5℃
最高気温 14.2℃、最低気温 2.5℃

 

🔥ウォーキング＋ランニングの距離 3.5km
🔥歩数 4,921歩
🔥登った階数 49階

 

 

x^3+2x のグラフ

数学・幾何学

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以前Rで描いた y = x^3 - 2 x = f ( x ) のグラフをGeoGebraで描き直したものです。GeoGebraの方が断然便利です。

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y = x^3 - 2 x のグラフ01

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y = x^3 - 2 x のグラフ02
y = x^3 - 2 x = x \left( x + \sqrt{2} \right) \left( x - \sqrt{2} \right)  
より、 x軸との交点は、

\left( - \sqrt{2}  , 0 \right)， \left( 0 , 0 \right)， \left( \sqrt{2}  , 0 \right)

となります。

更に、 y = f ( x ) を x で微分すると、

\displaystyle y ' = f ' ( x ) = 3 x ^ 2 - 2 = 3 \left( x^ 2 - \frac{2}{3}  \right) = 3 \left( x + \sqrt{\frac{2}{3}} \right) \left( x - \sqrt{\frac{2}{3}} \right) = 3 \left( x + \frac{\sqrt{6}}{3} \right) \left( x - \frac{\sqrt{6}}{3} \right)
となり、増減表を書くと、

x … \displaystyle - \frac{\sqrt{6}}{3} … \displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3} …
f ' ( x ) ＋ 0 － 0 ＋
f ( x ) ↗ \displaystyle \frac{ 4 \sqrt{ 6 } }{ 9 } ↘ \displaystyle - \frac{ 4 \sqrt{ 6 } }{ 9 } ↗

極値の座標は、
 \displaystyle \left( - \frac{ \sqrt{ 6 } }{ 3 } , \frac{ 4 \sqrt{ 6 } }{ 9 } \right) ，  \displaystyle \left( \frac{ \sqrt{ 6 } }{ 3 } , - \frac{ 4 \sqrt{ 6 } }{ 9 } \right)

 

参考までに  y ' = f ' ( x ) = 3 x ^ 2 - 2 のグラフも描いてみました。

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y' = 3 x^2 - 2 のグラフ

 

 

極限の問題演習

数学・幾何学

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数列の極限値の性質

数列 \{ a_n \}， \{ b_n \} について、 \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = \alpha ， \displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_n = \beta の時、次の性質が成り立ちます。

 

(1) \displaystyle \lim_{ n \to \infty } k a_n = k \alpha   ( k; 定数)

(2) \displaystyle \lim_{ n \to \infty } ( a_n \pm b_n ) = \alpha \pm \beta   (複合同順)

(3) \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n b_n = \alpha \beta  

(4) \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{a_n}{b_n} = \frac{\alpha}{\beta}   (但し \beta \neq 0 )

 

関数の極限の性質

関数 f ( x ) に於いて、 x が a と異なる値を取りながら限りなく a に近付く時、 f ( x ) の値が一定の値 \alpha に近付くならば、 \displaystyle \lim_{ x \to a } f ( x ) = \alpha と表し、 \alpha を x \rightarrow a の時の f ( x ) の極限値と言います。

\displaystyle \lim_{ x \to a } f ( x ) = \alpha ， \displaystyle \lim_{ x \to a } g ( x ) = \beta の時、数列の極限と同様に次の4つの基本的性質が成り立ちます。


(1) \displaystyle \lim_{ x \to a } k f ( x ) = k \alpha  ( k; 定数)

(2) \displaystyle \lim_{ x \to a } \left\{ f ( x ) \pm g ( x ) \right\} = \alpha \pm \beta  (複合同順)

(3) \displaystyle \lim_{ x \to a } f ( x ) g ( x ) = \alpha \beta  

(4) \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f ( x )}{ g ( x ) } = \frac{\alpha}{\beta}  (但し \beta \neq 0 )

 

また、 f ( x ) が整式の関数や分数関数、無理関数、指数関数、対数関数、三角関数である時、 a が定義域に属するなら、
\displaystyle \lim_{ x \to a } f ( x ) = f ( a )
が成り立ち、これを「関数の連続性」と言います。

この関数の連続性が成り立つ条件下で関数 f ( x ) の導関数 f ' ( x ) は
\displaystyle f ' ( x ) = \lim_{ h \to 0 } \frac{ f ( x + h ) - f ( x ) }{ h }
と極限で定義されます。

 

極限の公式

 

\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\frac {1}{n}} = 0

 

\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\frac {1}{3^n}} = 0

 

\displaystyle \lim_{x \to 0} {\frac {\sin x}{x}} = 1

 

\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{ x \to 0 } \frac{ \left( 1 - \cos x \right) \left( 1 + \cos x \right) }{x^2 \left( 1 + \cos x \right) } = \lim_{ x \to 0 } \frac{ 1 - \cos^2 x }{x^2 \left( 1 + \cos x \right) } = \lim_{ x \to 0 } \frac{ \sin^2 x }{x^2 \left( 1 + \cos x \right) } \\ \displaystyle = \lim_{ x \to 0 } \left( \frac{ \sin x }{ x } \right)^2 \cdot \frac{ 1 }{ 1 + \cos x  } = 1^2 \cdot \frac{ 1 }{ 1 + 1 } = \frac{ 1 }{ 2 }

 

\displaystyle \lim_{x \to 0} {\frac {\tan x}{x}} = \lim_{x \to 0} {\frac {\sin x}{x} \cdot \frac {1}{\cos x} } = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1

 

ネイピアス数 e の定義は

\displaystyle e = \lim_{t \to 0} ( 1 + t )^{\frac {1}{t}} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac {1}{n} \right)^n

 

関数 \displaystyle ( 1 + x ) ^{\frac{1}{x}} で e を底とする対数を取ると、
\displaystyle \log {( 1 + x ) ^{\frac{1}{x}}} = \frac{\log ( 1 + x )}{x}
よって、
\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\log ( 1 + x )}{x} = \lim_{ x \to 0 } \log { ( 1 + x ) ^{\frac{1}{x}} } = \log e = 1

 

ここで、 \log ( 1 + x ) = h と置くと、 h = h \log e = \log e^h より、 1 + x = e^h \Leftrightarrow x = e^h - 1 で、

x \rightarrow 0 の時、 h = \log ( 1 + x ) \rightarrow \log 1 = 0 となり、 
\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ e^h - 1}{h} = \lim_{ x \to 0 } \frac{ x }{ \log ( 1 + x ) } = \lim_{ x \to 0 } \frac{1}{\dfrac{ \log ( 1 + x ) }{  x }} = \frac{1}{1} = 1

 

 

演習

 

\displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{ x^{12} - 1 }{ x^{20} - 1 } = \lim_{ x \to 1 } \frac{ ( x- 1 ) \left( x^{11} + x^{10} + \cdots + x + 1 \right) }{ ( x - 1 ) \left( x^{19} + x^{18} + x^{17} \cdots + x + 1 \right) } = \lim_{ x \to 1 } \frac{ x^{11} + x^{10} + \cdots + x + 1 }{ x^{19} + x^{18} + x^{17} \cdots + x + 1 } = \frac{ 12 }{ 20 } = \frac{ 3 }{ 5 }  

 

\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{8 n^2 + 5 n - 6}{2 n^2 - 10 n + 4 } = \lim_{ n \to \infty } \frac{8 + \dfrac{5}{n} - \dfrac{6}{n^2} }{2 - \dfrac{10}{n} + \dfrac{4}{n^2} } = \frac{8 + 0 - 0}{2 - 0 + 0} = 4

 

\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{3^{n - 2} - 2^{2 n + 1} }{5 + 2^{2 n -1}} = \lim_{ n \to \infty } \frac{\dfrac{3^n}{9} - 2 \cdot 4^n }{5 + \dfrac{4^n}{2} } = \lim_{ n \to \infty } \frac{\dfrac{1}{3} \cdot \left( \dfrac{3}{4} \right)^n - 2 }{5 \cdot \dfrac{1}{4^n} + \dfrac{1}{2} } = \frac{0 - 2}{ 0 + \dfrac{1}{2}} = -4

 

\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{\sqrt{ 4 n^2 - 3 n } - 2 \sqrt{ n^2 + 1 } }{ \sqrt{ 9 n^2 + n } - 3 n } \\ \displaystyle = \lim_{ n \to \infty } \frac { \left( \sqrt{ 4 n^2 - 3 n } - 2 \sqrt{ n^2 + 1 } \right) \left( \sqrt{ 4 n^2 - 3 n } + 2 \sqrt{ n^2 + 1 } \right) \left( \sqrt{ 9 n^2 + n } + 3 n \right) }{ \left( \sqrt{ 9 n^2 + n } - 3 n \right) \left( \sqrt{ 9 n^2 + n } + 3 n \right) \left( \sqrt{ 4 n^2 - 3 n } + 2 \sqrt{ n^2 + 1 } \right) } \\ \displaystyle = \lim_{ n \to \infty } \frac { \left\{ \left( \sqrt{ 4 n^2 - 3 n } \right)^2 - \left( 2 \sqrt{ n^2 + 1 } \right)^2 \right\} \left( \sqrt{ 9 n^2 + n } + 3 n \right) }{ \left\{ \left( \sqrt{ 9 n^2 + n } \right)^2 - \left( 3 n \right)^2 \right\} \left( \sqrt{ 4 n^2 - 3 n } + 2 \sqrt{ n^2 + 1 } \right) } \\ \displaystyle = \lim_{ n \to \infty } \frac { \left\{ 4 n^2 - 3 n - \left( 4 n^2 + 4 \right) \right\} \left( \sqrt{ 9 n^2 + n } + 3 n \right) }{ \left( 9 n^2 + n - 9 n^2 \right) \left( \sqrt{ 4 n^2 - 3 n } + 2 \sqrt{ n^2 + 1 } \right) } = \lim_{ n \to \infty } \frac { \left( -3 n - 4 \right) \left( \sqrt{ 9 n^2 + n } + 3 n \right) }{ n \left( \sqrt{ 4 n^2 - 3 n } + 2 \sqrt{ n^2 + 1 } \right) } \\ \displaystyle = \lim_{ n \to \infty } \frac{ \left( -3 - \dfrac{ 4 }{ n } \right) \left( \sqrt{ 9 + \dfrac{ 1 }{ n }  } + 3\right) }{ \sqrt{ 4 - \dfrac{ 3 }{ n } } + 2 \sqrt{ 1 + \dfrac{ 1 }{ n^2 } } } = \frac{ \left( -3 - 0 \right) \left( \sqrt{ 9 + 0 } + 3  \right) }{ \sqrt{ 4 - 0 } + 2 \sqrt{ 1 + 0 } } = - \frac{9}{2}

 

\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{ \sqrt{ 9 n^2 - 13 n + 5 } }{ \displaystyle \sqrt{  \sum_{k=1}^{n} k^3 } - \sqrt{ \sum_{k=1}^{n - 1} k^3 } } = \lim_{ n \to \infty } \frac{ \sqrt{ 9 n^2 - 13 n + 5 } \left( \displaystyle \sqrt{  \sum_{k=1}^{n} k^3 } + \sqrt{ \sum_{k=1}^{n - 1} k^3 } \right) }{ \left( \displaystyle \sqrt{  \sum_{k=1}^{n} k^3 } - \sqrt{ \sum_{k=1}^{n - 1} k^3 } \right) \left( \displaystyle \sqrt{  \sum_{k=1}^{n} k^3 } + \sqrt{ \sum_{k=1}^{n - 1} k^3 } \right) } \\ \displaystyle = \lim_{ n \to \infty } \frac{ \sqrt{ 9 n^2 - 13 n + 5 } \left\{ \sqrt{ \dfrac{ n^2 ( n + 1 )^2 }{ 4 } } + \sqrt{ \dfrac{ ( n - 1 )^2 n^2 }{ 4 } } \right\} }{ \displaystyle \left( \sqrt{ \sum_{k=1}^{n} k^3 } \right)^2 - \left( \sqrt{ \sum_{k=1}^{n - 1} k^3 } \right)^2 } \\ \displaystyle = \lim_{ n \to \infty } \frac{ \sqrt{ 9 n^2 - 13 n + 5 } \left[ \dfrac{ n }{ 2 } \left\{ \sqrt{ ( n + 1 )^2 } + \sqrt{ ( n - 1 )^2 } \right\} \right] }{ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n - 1} k^3 } \\ \displaystyle = \lim_{ n \to \infty } \frac{ \dfrac{ n }{ 2 } \sqrt{ 9 n^2 - 13 n + 5 } \left( \sqrt{ n^2 + 2 n + 1 } + \sqrt{ n^2 -2 n + 1 } \right) }{ 1^3 + 2^3 + \cdots + ( n - 1 )^3 + n^3 - \left\{ 1^3 + 2^3 + \cdots + ( n - 1 )^3 \right\} } \\ \displaystyle =  \lim_{ n \to \infty } \frac{ n \sqrt{ 9 n^2 - 13 n + 5 } \left( \sqrt{ n^2 + 2 n + 1 } + \sqrt{ n^2 -2 n + 1 } \right) }{ 2 n^3 } \\ \displaystyle =  \lim_{ \to \infty } \frac{ \sqrt{ 9 n^2 - 13 n + 5 } \left( \sqrt{ n^2 + 2 n + 1 } + \sqrt{ n^2 - 2 n + 1 } \right) }{ 2 n^2 } \\ \displaystyle =  \lim_{ \to \infty } \frac{ \sqrt{ 9 - \dfrac{ 13 }{ n } + \dfrac{ 5 }{ n^2 } } \left( \sqrt{ 1 + \dfrac{ 2 }{ n } + \dfrac{ 1 }{ n^2 } } + \sqrt{ 1 - \dfrac{ 2 }{ n } + \dfrac{ 1 }{ n^2 } } \right) }{ 2 } = \frac{ \sqrt{ 9 - 0 + 0 } \left( \sqrt{ 1 + 0 + 0 } + \sqrt{ 1 - 0 + 0 } \right) }{ 2 } \\ \displaystyle = 3

 

\displaystyle \lim_{ n \to \infty } n \left\{ \log ( n + 4 ) - \log n \right\} = \lim_{ n \to \infty } n \log \left( \frac{ n + 4 }{ n }  \right) = \lim_{ n \to \infty } n \log \left( 1 + \frac{ 4 }{ n } \right) = \lim_{ n \to \infty } \log \left( 1 + \frac{ 4 }{ n } \right)^n

ここで、 \displaystyle \frac{ n }{ 4 } = m と置くと、 n \to \infty の時 m \to \infty ．

\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \log \left( 1 + \frac{ 4 }{ n } \right)^n = \lim_{ m \to \infty } \log \left( 1 + \frac{ 1 }{ m } \right)^{4 m} = \lim_{ m \to \infty } 4 \log \left( 1 + \frac{ 1 }{ m } \right)^{m} = 4 \log e = 4 

 

\displaystyle \lim_{ x \to 0 } ( 1 - 3 x )^{\frac{2}{x}}
t = - 3 x と置くと、 x \rightarrow 0 の時 t \rightarrow 0 ．
\displaystyle \lim_{ x \to 0 } ( 1 - 3 x )^{\frac{2}{x}} = \lim_{ t \to 0 } ( 1 + t )^{- \frac{6}{t}} = \lim_{ t \to 0 } \left\{ ( 1 + t )^{ \frac{1}{t}} \right\}^{- 6} = e^{- 6} = \frac{1}{e^6}

 

1の3乗根

数学・幾何学

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1の3乗根

1の３乗根で複素数となるものの1つを \omega と置くと、複素平面上で実数 1 と複素数 \omega， \omega^2 の3点を結んでできる三角形は、複素平面上の原点 O を重心とした正三角形となります。

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1の3乗根

 

この時、

\omega^3 = 1 \tag{1}

より

\omega^3 = 1 \Leftrightarrow \omega^3 - 1 = 0 \Leftrightarrow ( \omega - 1 ) \left( \omega^2 + \omega + 1 \right) = 0  \tag{2}

となり、更に \omega \neq 1 より

  \omega^2 + \omega + 1 = 0 \tag{3}

であり、

(2) \Leftrightarrow \omega^2 = - \omega - 1 \Leftrightarrow \omega^2 + \omega = - 1 \tag{4}

の関係があります。

また、

\displaystyle \frac{1}{\omega} = \frac{\omega^2}{\omega^3} = \omega^2 \tag{5}
\displaystyle \frac{1}{\omega^2} = \frac{\omega}{\omega^3} = \omega \tag{6}

と合わせて、

\omega^{200} + \omega^{100} や \displaystyle  \omega^{100} + \frac{1}{\omega^{100}}

と言った値を求めさせる問題が考えられます。

 

更に、 x^2 + x + 1 = 0 の2解(複素数解)は、二次方程式の解の公式より

\displaystyle x = \frac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2}

となり、

\displaystyle \omega = \frac{-1 + \sqrt{3} i}{2} ， \displaystyle \omega^2 = \frac{-1 - \sqrt{3} i}{2} …(7)

と判ります。

ちなみに、 \omega と \omega^2 は共役な複素数です。

即ち、 \overline{\omega} = \omega^2， \overline{\omega^2} = \omega とも表せます。

 

1の3乗根の複素数解とドモアブルの定理

1の3乗根の複素数解を極座標表示すると、

\displaystyle \omega = \frac{-1 + \sqrt{3} i}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} = \cos \frac{2}{3} \pi + i \sin \frac{2}{3} \pi

\displaystyle \omega^2 = \frac{-1 - \sqrt{3} i}{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} = \cos \frac{4}{3} \pi + i \sin \frac{4}{3} \pi

となり、

\omega は、複素平面上に於いて原点回りの \displaystyle \frac{2}{3} \pi 回転、 \omega^2 は \displaystyle \frac{4}{3} \pi \left( = \frac{2}{3} \pi + \frac{2}{3} \pi \right) 回転と捉えることができます。

\omega^2 の回転角が \omega のそれの2倍となっていることから、ド・モアブルの定理も満たしていることが判ります。

実は、 \omega と \omega^2 の値を入れ替えても上記の性質は満たします。

 

3乗の式の因数分解

因数分解の発展公式として有名な

\displaystyle a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 - 3 a b c = ( a + b + c ) \left( a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 - a b - b c - c a \right) \tag{8}

は、複素数の範囲まで拡張して因数分解すると、

\displaystyle a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 - 3 a b c = ( a + b + c ) \left( a + \omega b + \omega^2 c \right) \left( a + \omega^2 b + \omega c \right) \tag{9}

となります。

実際(1)，(4)を考慮して \left( a + \omega b + \omega^2 c \right) \left( a + \omega^2 b + \omega c \right) を展開してみると、

\left( a + \omega b + \omega^2 c \right) \left( a + \omega^2 b + \omega c \right) = a^2 + \omega a b + \omega^2 c a + \omega^2 a b + \omega^3 b^2 + \omega^4 b c + \omega c a + \omega^2 b c + \omega^3 c^2 \\ = a^2 + \omega a b + \omega^2 c a + \omega^2 a b + b^2 + \omega^3 \cdot \omega b c + \omega c a + \omega^2 b c + c^2 \\ = a^2 + \omega a b + \omega^2 c a + \omega^2 a b + b^2 + \omega b c + \omega c a + \omega^2 b c + c^2 \\ = a^2 + b^2 + c^2 + \left( \omega^2 + \omega \right) a b + \left( \omega^2 + \omega \right) b c + \left( \omega^2 + \omega \right) c a \\ = a^2 + b^2 + c^2 - a b - b c - c a

となることが判ります。

 

演習問題

 

剰余の定理／因数定理

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剰余の定理

整式 P ( x ) を1次式 x - \alpha で割った時の余りは P ( \alpha ) となる。

証明

整式 P ( x ) を x - \alpha で割った時の商を Q ( x ) ，余りを r と置くと、

P ( x ) = ( x - \alpha ) Q ( x ) + r  \tag{1}

と表せる。

ここで、 P ( x ) に x = \alpha を代入すると、

P ( \alpha ) = ( \alpha - \alpha ) Q ( \alpha ) + r = 0 \cdot Q ( \alpha ) + r = r \tag{2}

よって、 P ( x ) を x - \alpha で割った時の余りは P ( \alpha ) と言えた。 

 

因数定理

「整式 P ( x ) が x - \alpha を因数に持つ」 \Leftrightarrow P ( \alpha ) = 0

証明

上式(1)で、 r = 0 の時なので、上式(2)より P ( \alpha ) = 0 と言える。

 

四次方程式の解と係数の関係

数学・幾何学

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四次方程式の解と係数の関係

四次方程式の解と係数の関係です。

 

x に関する四次方程式 a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + h = 0 ( a \neq 0) の4解を \alpha， \beta， \gamma， \delta と置くと、

因数定理より、

a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + h  = a ( x - \alpha ) ( x - \beta ) ( x - \gamma ) ( x - \delta ) と表せます。

これより、

a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + h = a \left\{ x^2 - ( \alpha + \beta ) x + \alpha \beta \right\} \left\{ x^2 - ( \gamma + \delta ) x + \gamma \delta \right\}  \\ = a \left\{ x^4 - ( \alpha + \beta ) x^3 + \alpha \beta x^2 - ( \gamma + \delta ) x^3 + ( \alpha + \beta )( \gamma + \delta ) x^2 - \alpha \beta ( \gamma + \delta ) x + \gamma \delta x^2 - ( \alpha + \beta ) \gamma \delta x + \alpha \beta \gamma \delta \right\}   \\ = a \left[ x^4 - ( \alpha + \beta + \gamma + \delta ) x^3 + \left\{ ( \alpha + \beta )( \gamma + \delta ) + \alpha \beta + \gamma \delta  \right\}  x^2 - \left\{ \alpha \beta ( \gamma + \delta ) + ( \alpha + \beta ) \gamma \delta \right\} x + \alpha \beta \gamma \delta \right] \\ = a \left\{ x ^ 4 - ( \alpha + \beta + \gamma + \delta ) x^3 + ( \alpha \beta + \beta  \gamma + \gamma \delta + \delta \alpha + \alpha \gamma + \beta \delta ) x^2 - ( \alpha \beta \gamma + \beta  \gamma \delta + \gamma \delta \alpha + \delta \alpha \beta ) x + \alpha \beta \gamma \delta \right\} \\  \displaystyle \Leftrightarrow  x^4 + \frac{b}{a} x^3 + \frac{c}{a} x^2 + \frac{d}{a} x + \frac{h}{a} \\ = x ^ 4 - ( \alpha + \beta + \gamma + \delta ) x^3 + ( \alpha \beta + \beta  \gamma + \gamma \delta + \delta \alpha + \alpha \gamma + \beta \delta ) x^2 - ( \alpha \beta \gamma + \beta  \gamma \delta + \gamma \delta \alpha + \delta \alpha \beta ) x + \alpha \beta \gamma \delta

よって

\displaystyle \alpha + \beta + \gamma + \delta = - \frac{b}{a}

\displaystyle \alpha \beta + \beta  \gamma + \gamma \delta + \delta \alpha + \alpha \gamma + \beta \delta = \frac{c}{a}

\displaystyle \alpha \beta \gamma + \beta  \gamma \delta + \gamma \delta \alpha + \delta \alpha \beta = - \frac{d}{a}

\displaystyle \alpha \beta \gamma \delta = \frac{h}{a}

 

4文字の対称式になってくると、式を展開していて文字の整理が大変になってきますね。その場合、 \alpha → \beta → \gamma → \delta → \alpha と回転させると計算ミスも減らせて、見た目の美しさも保てて良いです。3文字の場合、5文字以上の場合も同様です。

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4文字の整理

 

応用

これと対称式、四次関数、微分積分、複素数を絡めた問題が考えられます。